Интегрирование этого выражения дает для потенциальной энергии

Ep = − Vкмa + const.

Значение постоянной интегрирования следует выбрать так, чтобы выражение для внутренней энергии U в пределе, при возрастании объема до бесконечности, переходило в выражение для внутренней энергии идеального газа (напомним, что при увеличении объема все реальные газы приближаются по своим свойствам к идеальному газу). Исходя из этих соображении, постоянную интегрирования нужно положить равной нулю. Тогда для внутренней энергии реального газа получается следующее выражение:

	Uкм = CV T −	a	(121.1)
		Vкм

из которого следует, что внутренняя энергия растет как при повышении температуры, так и при увеличении объема.

Если газ будет расширяться или сжиматься без теплообмена с внешней средой и без совершения внешней работы, то согласно первому началу термодинамики его внутренняя энергия должна оставаться постоянной. Для Газа, энергия которого определяется формулой (121.1), должно при этом соблюдаться условие

dUкм = CV dT + Va2 dVкм = 0,

км

откуда следует, что dT и dVкм имеют разные знаки.

Следовательно, при расширении в таких условиях газ должен всегда охлаждаться, а при сжатии — нагреваться,

§122. Эффект Джоуля-Томсона

Пропуская газ по теплоизолированной трубке с пористой перегородкой, Джоуль и Томсон обнаружили, что при расширении, которым сопровождается прохождение газа через перегородку, температура его несколько изменяется. В зависимости от начальных давления и температуры изменение температуры ∆Т имеет тот или иной знак и, в частности, может оказаться равным нулю. Это явление получило название эффекта Джоуля-Томсона. Если температура газа понижается (∆Т<0), эффект считается положительным; если газ нагревается (∆Т>0), эффект считается отрицательным.

Схема опыта показана на рис. 280. По трубке с крайне плохо проводящими тепло стенками устанавливалось стационарное (не изменяющееся со временем) течение

Рис. 280.

газа. В трубке имелась перегородка с мелкими порами (пробка из ваты), на которой происходил перепад давления от большого значения р1 до малого значения p2 в результате чего газ сильно расширялся. Измерялась разность температур ∆Т=Т2-Т1

308

Выделим мысленно часть газа, ограниченную сечениями 1 и 2. По мере движения газа по трубке эти сечения перемещаются. Пусть спустя некоторое время они оказываются в положениях 1’ и 2’ соответственно. Поскольку за перегородкой та же порция газа занимает больший объем, чем перед перегородкой, сечение 2 переместится на больший отрезок, чем сечение 1. Напишем для выделенной порции газа уравнение первого начала термодинамики. Расширение газа происходит без теплообмена с внешней средой (адиабатически). Поэтому приращение внутренней энергии газа должно равняться совершенной над ним работе:

U2	− U1	= A .	(122.1)
		′

Работу над данной порцией газа совершает граничащий с ней газ. Слева на выделенную часть газа действует сила p1S (S — сечение трубки), направленная в сторону движения. Справа действует сила p2S, противодействующая движению В и того как пропорциональной порцией газа совершается работа:

A′ = p1Sl1 − p2Sl2.

Замечая, что Sl1 есть объем V1, занимаемый газом до расширения, a Sl2 — объем V2 после расширения, можно написать, что

A′ = p1V1 − p2V2.

Подставив это выражение в (122.1), мы приходим к следующему соотношению:
U1 + p1V1 = U2 + p2V2.	(122.2)

Таким образом, в условиях опыта Джоуля-Томсона сохраняется не внутренняя энергия газа, а являющаяся функцией состояния величина U+pV1.

Будем вести расчет для киломоля газа. После расширения газ имеет большой объем, так что его можно считать с достаточной степенью точности идеальным. Поэтому p2V2 можно положить равным RT2, аU2=CVT2. В соответствии с (118.1)

				RT			a
	p V	=			1	−		V .
			V		− b		V 2
	1 1								1
				1			1

Для U1 нужно взять выражение (121.1). Подставив все эти выражения в (122.2) получаем:

C T −

a

+

RT1V1

−

a

= C T + RT .

V 1

V

V − b

V

V

2

2

1

1

1

Третье слагаемое можно записать в виде

RT1V1

=

RT1(V1 − b + b) = RT +

RT1b

V − b

V − b

V − b

1

1

1

1

С учетом этого находим, что

1

RT1b

2a

T = T2 − T1 =

−

.

(122.3)

C

+ R

V − b

V

V

1

1

Знак ∆Т определяется знаком выражения, стоящего в скобках. Нулевой эффект (∆Т=0) получается при условии, что

	RT1b	−	2a	= 0.	(122.4)
	V − b		V
1		1

1 В термодинамике эту функцию называют теплосодержанием, или энтальпией

309

Уравнению (122.4) соответствует на плоскости (V1, T1) кривая, изображенная на рис. 281. Точки этой кривой определяют значения параметров T1 и V1, при которых ∆Т=0. Точки, лежащие выше кривой, определяют

Ряс. 281.

значения Т1 и V1 при которых ∆Т>0, т. е. эффект отрицателен (при перемещении вверх от кривой первое слагаемое в скобках растет и скобка становится больше нуля). Точки, лежащие ниже кривой, определяют значения Т1, и V1 при которых эффект положителен (∆Т<0). Кривая, описываемая уравнением (122.4), называется кривой инверсии.

Таким образом, знак и величина эффекта определяются начальной температурой и начальным объемом

Рис. 282 (или начальным давлением)

газа. При T1 > bR2a эффект будет всегда отрицательным. При T1 < bR2a эффект получается

положительным только при достаточно большом начальном объеме (т. е. при достаточно малом начальном давлении).

310

При данном начальном объеме (давлении) величина ∆Т линейно изменяется с начальной температурой Т1 (рис, 282). Чем ниже начальная температура, тем сильнее охлаждается газ в результате эффекта Джоуля — Томсона.

Отметим, что эффект Джоуля — Томсона всецело обусловлен отклонениями газа от идеальности. Для идеального газа pV=RT и условие (122.2) превращается в

CVT1+RT1=CVT2+RT2,

откуда следует, что Т1=Т2,

§123. Ожижение газов

Для того чтобы ожижить газ, необходимо охладить его ниже критической температуры Ткр. Во втором столбце таблицы 11 приведены значения критической

Таблица 11

Вещество	Критическая	Температура кипения при
	температура, °С	атмосферном давлении, °С
Кислород	-119	-183
Азот	-147	-193
Водород	-240	-253
Гелий	-268	-269

температуры для некоторых газов1. Как видно из таблицы, перевод таких газов, как кислород, азот, водород и гелий, в жидкое состояние требует сильного понижения их температуры. Один из промышленных методов ожижения газов (метод Линде) использует для охлаждения газа эффект Джоуля-Томсона.

На рис. 283 дана принципиальная схема метода Линде. Сжатый компрессором К газ проходит через холодильник X, в котором охлаждается до температуры, лежащей ниже точки инверсии. Эго нужно для того, чтобы при последующем расширении газ в результате эффекта Джоуля-Томсона не нагревался, а охлаждался. Затем газ течет по внутренней трубке теплообменника Т.О. и, пройдя через дроссель Др (выполняющий те же функции, что и ватный тампон в опыте Джоуля-Томсона), сильно расширяется и охлаждается.

Теплообменник состоит из двух длинных трубок разных диаметров, вставленных одна в другую (для сокращения размеров теплообменника обе трубки свиваются в спираль). Стенки внутренней трубки делаются хорошо проводящими тепло. Наружная трубка покрывается тепловой изоляцией. Если по

Рис. 283.

трубкам пустить встречные потоки газов, имеющих на входе разную температуру, то в результате теплообмена через стенки внутренней трубки температура газов будет

1 В обоих столбцах таблицы даны округленные значения температуры

311