Группируя соответствующим образом члены, получим:(T2 + U2 ) − (T1 + U1 ) = A'. Наконец, введя обозначение полной энергии системы E=T+U мы придем к соотношению

E = E2 − E1 = A'.

(27.20)

Итак, приращение полной энергии системы тел, между которыми действуют консервативные силы, оказывается равным работе внешних сил, приложенных к телам системы.

Если система замкнута, т. е, внешние силы отсутствуют, то согласно (27.20)	E=0, откуда
следует, что
E = const.	(27.21)

В формулах (27.20) и (27.21) заключено существо одного из основных законов механики — закона сохранения энергии. В механике этот закон формулируется следующим образом: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют также неконсервативные силы, например силы трения, то полная механическая энергия системы не сохраняется. Рассматривая неконсервативные силы как внешние, можно написать:

E2 − E1 = Aн.к,

где Aнк — работа неконсервативных сил. Силы трения совершают, как правило, отрицательную работу (см. сноску на стр. 88). Поэтому наличие сил трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее полной механической энергии со временем. Действие сил трений приводит к превращению механической энергии в другие, немеханические, виды энергии. В этом случае выполняется более общий закон сохранения — в изолированной от любых внешних воздействий системе остается постоянной сумма всех видов энергии (включая и немеханические),

§28. Связь между потенциальной энергией и силой

Каждой точке потенциального поля соответствует одной стороны, некоторое значение вектора силы f, действующей на тело, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии тела U. Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь. Для установления этой связи вычислим элементарную работу, A совершаемую силами поля при малом перемещении тела s, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое мы обозначим буквой s (рис. 66), Эта работа равна:

Рис.66
A = fs s,	(28.1)

где fs — проекция силы f на направление s.

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии, она равна убыли потенциальной энергии — U на отрезке s оси s:

72

	A = −	U.	(28.2)
Сопоставляя (28.1) и (28.2), получаем:
fs s = −		U ,
откуда:
	fs = −	U .	(28.3)
		s
Выражение (28.3) даст среднее значение fs на отрезке			s. Чтобы получить значение fs в
данной точке, нужно произвести предельный переход:
fs	= − lim	U .	(28.4)
	s→0	s

Поскольку U может изменяться не только при перемещении вдоль оси s, но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в формуле (28.4) представляет собой так называемую частную производную от U по s:

fs = −	∂U .	(28.5)
	∂s

Соотношение (28.5) справедливо для любого направления в пространстве, в частности, и для направления декартовых координатных осей x, y, z:

fx = − ∂∂Ux ,

f = − ∂U ,

y ∂y (28.6)

f = − ∂U .

z ∂

z

Формулы (28.6) определяют проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы. В соответствии с (2.8)

f = −	∂U i +	∂U j +	∂U k .		(28.7)
	∂k	∂y	∂z

В математике вектор

∂∂ax i + ∂∂ay j + ∂∂az k,

где a — скалярная функция x, y, z, называется градиентом этого скаляра и обозначается символом grada. Следовательно, сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком

f = − gradU.

(28.8)

Пример. Возьмем в качестве примера поле сил тяжести. Ось z направим по вертикали вверх (рис. 67). При таком выборе координатных осей потенциальная энергия будет иметь вид

U = mgz + const.

Проекция силы на оси согласно (28.6) равны:

fx = 0, fy = 0, fz = −mg,

73

Рис.67

откуда следует, что сила равна mg и направлена в сторону, противоположную направлению z, т. е. вниз по вертикали.

§29. Условия равновесия механической системы

В замкнутой системе полная энергия остается постоянной, поэтому кинетическая энергия может возрастать только за счет уменьшения потенциальной энергии. Если система находится в таком состоянии, что скорости всех тел равны нулю, а потенциальная энергия имеет минимальное значение, то без воздействия извне тела системы не могут прийти в движение, т. е- система будет находиться в равновесии.

Таким образом, для замкнутой системы равновесной может быть только такая конфигурация тел, которая соответствует минимуму потенциальной энергии системы.

Рассмотрим случай, когда взаимное расположение тел системы может быть определено с помощью только одной величины, например координаты х. В качестве примера можно привести систему Земля — шарик, скользящий без трения по укреплённой неподвижно изогнутой проволоке (рис. 68,а). Другим примером может служить прикрепленный к концу пружины шарик, скользящий по горизонтальной направляющей (рис. 69, а). Графики функции U(x) показаны на рис. 68,б и 69,б. Минимумам U соответствуют значения x равные x0 (на рис. 69)

74

Рис.68 x0 есть длина недеформированной пружины).

Условие минимума U имеет вид

∂U = 0. ∂x

В соответствии с (28.6) условие (29.1) равнозначно тому, что

fx = 0
∂U	=	∂U
(когда U является функцией только одной переменной x, ∂x		∂x ).

(29.1)

(29.2)

Таким образом, конфигурация системы, соответствующая минимуму потенциальной энергии, обладает тем свойством, что силы, действующие на тела системы, равны нулю. Этот результат остается справедливым и в общем случае, когда U является функцией нескольких переменных.

В случае, изображенном на рис. 68, условия (29.1) и (29.2) выполняются также для x,

равного x '0 (т. е, для максимума U). Определяемое этим значением x положение шарика также будет равновесным. Однако это равновесие в отличие от равновесия при x=x0 будет неустойчивым: достаточно слегка вывести шарик из этого положения, как возникает сила,

которая будет удалять шарик от положения x '0 . Силы, возникающие при смещении шарика из положения устойчивого равновесия (для которого x=x0), направлены так, что стремятся вернуть шарик в положение равновесия.

Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия системы, можно сделать ряд заключений о характере движения системы. Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рис. 68, б. Если полная энергия системы имеет значение, соответствующее

75