Bмeсте с тем явление резонанса часто оказывается весьма полезным, особенно в акустике, радиотехнике и т. д.

§76. Параметрический резонанс

В рассмотренном в предыдущем параграфе случае приложенная извне вынуждающая сила обусловливала непосредственно смещение системы из положения равновесия. Оказывается, существует иной вид воздействия извне, с помощью которого можно сильно раскачать систему. Этот вид воздействия заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическом изменении какого-либо параметра системы, вследствии чего само явление называется параметрическим резонансом.

Возьмем для примера простейший маятник — шарик на нитке.

Рис. 191.

Если периодически изменять длину маятника l, увеличивая ее в моменты, когда маятник находится в крайних положениях, и уменьшая в моменты, когда маятник находится в среднем положении (рис. 191) то маятник сильно раскачивается. Увеличение энергии маятника при этом происходит за счет работы, которую совершает сила, действующая на нить. Сила натяжения нити при колебаниях маятника непостоянна: она меньше в крайних положениях, когда скорость обращается в нуль, и больше в среднем положении, когда скорость маятника максимальна. Поэтому отрицательная работа внешней силы при удлинении маятника оказывается меньше по величине, чем положительная работа, совершаемая при укорочении маятника. В итоге работа внешней силы за период оказывается больше нуля.

Глава X. Волны

§77. Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростьюυ . Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна не переносятся волной, они лишь совершают колебание около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различичают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к правлению распространения волны. Механические

194

поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 192 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2, 3 и т. д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном

14υT , т. е. на расстоянии, проходимом волной за четверть периода колебании, совершаемых

частицами. В момент времени, принятый на схеме за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. Спустя еще четверть периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигает крайнего верхнего положения, а третья частица

Рис. 192.

начинает смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный Т первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения,

как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя луть υT , достигнет частицы 5.

На рис. 193 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещенными вправо и влево. Как видно из рис. 193, при прохождении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (сгущения частиц отмечены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью υ .

Все время, пока существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия, причем, как видно из рис. 192 и 193, различные частицы колеблются со

сдвигом по фазе. Частицы, отстоящие друг oт друга на расстоянииυT 1, колеблются в

1 Имеется в виду, чтo отстоят друг oт друга на υT положения равновесия соответствующих частиц.

195

Рис. 193.

одинаковой фазе (добавление к фазе 2л не оказывает на нее никакого влияния). Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися одинаковым образом (в одинаковой фазе),

называется длиной волны λ (см. рис. 194, на котором изображено смещение ζ частиц из

положения равновесия, как функция расстояния х, отсчитываемого вдоль направления распространения волны).

Рис. 194.

Длина волны, очевидно, равна тому расстоянию, на которое распространяется полна за период:

λ = υT

(77.1)

Заменяя в этом соотношении Т через 1/v [см. (62.9); v — частота колебаний], получим, что

λν = υ.

(77.2)

Последнее соотношение можно получить также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, как источник будет завершать v-e колебание, первый «гребень» успеет пройти путь υ . Следовательно, v «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине υ .

В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х (как это изображено на рис. 192 и 193), а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и ноше части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

196

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одинаков вой фазе). Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этик случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — систему концентрических сфер.

§78. Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение, колеблющейся точки, как функцию ее координат1, х, y, z и времени t:

ξ = ξ (x, y, z;t).

(78.1)

Функция (78.1) должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат x, у и z. Периодичность по t следует из того, что ξ описывает колебания точки с координатами x, у, z. Периодичность по координатам вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии λ , колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции ξ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят

гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось x совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к

оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от х и t:

ξ = ξ (x,t).

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х=0 (рис. 195), имеют вид

ξ (0,t) = a cosωt

Рис. 195.

Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х=0 до этой плоскости, волне требуется время

τ = υx ,

1 Имеются в виду координаты равновесного положения точки.

197

Где υ — скорость распространения волны. Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х=0, т.е. будут иметь вид

	x
ξ (x,t) = a cosω(t − τ ) = a cosω t −		.
	υ

Итак, уравнение плоской волны запишется следующим образом;

	x
ξ = a cosω t −		.	(78.2)
	υ

Величина ξ в (78.2) представляет собой смещение любой из точек с координатой х в

момент времени t. При выводе формулы (78.2) мы предполагали, что амплитуда колебаний во всех точках одна и та же. В случае плоской волны это наблюдается, если энергия волны не поглощается средой.

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (78.2), положив:

	x
ω t −			= const.	(78.3)
	υ

Выражение (78.3) дает связь между временем (t) н тем местом (х), в котором зафиксированное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив вытекающее из него значение dx/dt, мы найдем скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (78.3), получим:

dt − υ1 dx = 0,

откуда

dx	= υ.	(78.4)
dt

Таким образом, скорость распространения волны υ в уравнении (78.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой cкopocтью. Из (78.4) следует, что скорость волны (78.2) положительна. Следовательно, уравнение (78.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид

	x
ξ = a cos t +		.	(78.5)
	υ

Действительно, приравняв константе фазу волны (78.5) и продифференцировав, получим:

dxdt = −υ ,

откуда и следует, что волна (78.5) распространяется в сторону убывания х.

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно t и х вид. Для этого введем так называемое волновое число k;

k =	2π	(78.6)
	λ

Из (77.1) и (78.6) вытекает, что между волновым числом k, круговой частотой ω и фазовой скоростью волны υ имеется соотношение

198