§144. Давление под изогнутой поверхностью жидкости

Рассмотрим поверхность жидкости, опирающуюся на некоторый плоский контур (рис. 314, а). Если поверхность жидкости не плоская, то стремление её к сокращению приведет к возникновению давления, дополнительного к тому, которое испытывает жидкость с плоской поверхностью. В случае выпуклой поверхности это дополнительное давление положительно (рис. 314, б), в случае вогнутой поверхности – отрицательно (рис. 314, в). В последнем случае поверхностный слой, стремясь сократиться, растягивает жидкость.

а)

б)

в)

Рис. 314.

Величина добавочного давления, очевидно, должна возрастать с увеличением коэффициента поверхностного натяжения α и кривизны поверхности. Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости. Для этого рассечем мысленно сферическую каплю Жидкости диаметральной плоскостью на два полушария (рис. 315).

Рис. 315.

Из-за поверхностного натяжения оба полушария притягиваются друг к другу с силой, равной

f = lα = 2πRα

Эта сила прижимает друг к другу оба полушария по поверхности S = πR2 и, следовательно обусловливается дополнительное давление

	p =	f	=	2πRα	=	2α	(144.1)
		S		πR2		R

Кривизна сферической поверхности всюду одинакова и определяется радиусом сферы R. Очевидно, что чем меньше R, тем больше кривизна сферической поверхности. Кривизну произвольной поверхности принято характеризовать так называемой средней кривизной, которая может оказаться различной для разных точек поверхности.

Средняя кривизна определяется через кривизну нормальных сечений. Нормальные сечением поверхности в некоторой точке называется линия пересечения этой поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в рассматриваемой точке. Для сферы любое нормальное сечение представляет собой окружность радиуса R (R — радиус сферы). Величина H=1/R дает кривизну сферы. В общем случае различные нормальные сечения, проведенные через одну и ту же точку, имеют различную кривизну. В геометрии доказывается, что полусумма обратных радиусов кривизны:

350

		1		1		1
	H =				+			(144.2)
		2		R		R
				1		2

для любой пары взаимно-перпендикулярных нормальных сечений имеет одно и то же значение. Эта величина и есть средняя кривизна поверхности в данной точке.

Радиусы R1 и R2 в формуле (144.2) — алгебраические величины. Если центр кривизны нормального сечения находится под данной поверхностью, соответствующий радиус кривизны положителен; если центр кривизны лежит над поверхностью, радиус кривизны отрицателен

(рис. 316).

Рис. 316.

Таким образом, неплоская поверхность может иметь среднюю кривизну, равную нулю. Для этого нужно, чтобы радиусы кривизны R1 и R2 были одинаковы по величине и противоположны по знаку.

Для сферы R1 = R2 = R , и по формуле (144.2) H = 1R. Подставляя это значение в

(144.1), получаем для добавочного давления под сферической поверхностью
p = 2Hα.	(144.3)

Как показал Лаплас, формула (144.3) справедлива для поверхности любой формы, если под Н понимать среднюю кривизну поверхности в той точке, под которой определяется дополнительное давление. Подставив в (144.3) выражение (144.2) для средней кривизны, получим формулу для добавочного давления под произвольной поверхностью:

	1		1
		+
	R		R
p = α					(144.4)
	1		2

Она называется формулой Лапласа.

Добавочное давление (144.4) обусловливает изменение уровня жидкости в узких трубках (капиллярах), вследствие чего называется иногда капиллярным давлением.

Рассмотрим поверхность, имеющую форму кругового цилиндра радиуса R. В качестве нормальных сечений возьмем сечение поверхности плоскостью, проходящей через ось цилиндра, и сечение плоскостью, перпендикулярной к оси {рис. 317).

351

Рис. 317.

Первым сечением будет прямая (R1 = ∞) вторым — окружность радиуса R*(R2=R).

Кривизна цилиндрической поверхности по формуле (144.2) равна 1/2R, т. е. в 2 раза меньше, чем кривизна сферической поверхности того же радиуса. Дополнительное давление подцилиндрической поверхностью радиуса R согласно формуле (144.4) равно

p =	α	(144.5)
	R

Если в жидкости имеется пузырек газа, то поверхность пузырька, стремясь сократиться, будет оказывать на газ дополнительное давление. Повторяя рассуждения, приведшие нас к

формуле (144.1), можно показать, что величина этого давления равна 2α / R . Найдем радиус пузырька в воде, при котором добавочное давление равно 1 aт. Коэффициент поверхностного натяжения воды при 20°С равен 0,073 н/м, 1 ат соответствует примерно 105 н/м2.

Следовательно, для R получается следующее значение:

R =	2α	=	2 0,073		≈ 1,5 10−6 м = 1,5 10−3 мм.
	p		105

Таким образом, p=lam при диаметре пузырька примерно 3 мк. Для пузырька диаметром 1 мм добавочное давление превышает 2 мм рт.ст.

§145. Явления на границе жидкости и твердого тела

Все сказанное в §143 об особых условиях, в которых находятся молекулы поверхностного слоя, целиком относится также и к твердым телам. Следовательно, твердые тела, как и жидкости, обладают поверхностным натяжением.

При рассмотрении явлений на границе раздела различных сред следует иметь в виду, что поверхностная энергия жидкости или твердого тела зависит не только от свойств данной жидкости или твердого тела, но и от свойств того вещества, с которым они граничат. Строго

говоря, нужно рассматривать суммарную поверхностную энергию α12 двух граничащих друг с другом веществ (рис. 318).

Рис. 318. 352

Только если одно вещество газообразно, химически не реагирует с другим веществом и мало в нем растворяется, можно говорить просто о поверхностной энергии (или коэффициенте поверхностного натяжения) второго жидкого или твердого тела.

Если граничат друг с другом сразу три вещества: твердое, жидкое и газообразное (рис. 319), то вся система принимает конфигурацию, соответствующую минимуму суммарной потенциальной энергии (поверхностной, в поле сил тяжести и т. п.). В частности, контур, по которому граничат все три вещества, располагается на поверхности твердого тела таким образом, чтобы сумма проекций всех приложенных к каждому элементу контура сил поверхностного натяжения на направление, в котором элемент контура может перемещаться (т. е. на направление касательной к поверхности твердого

Рис. 319.

тела), была равна нулю. Из рис. 319 следует, что условие равновесия элемента контура длиной l запишется следующим образом:

lαT r =	lαT Ж +	lα ж r cosθ	(145.1)
1	1	1

Где αT1r , αT1ж и α ж1r — коэффициенты поверхностного натяжения на границах: твердое тело — газ, твердое тело—жидкость и жидкость — газ.

Отсчитываемый внутри жидкости угол ϑ между касательными к поверхности твердого тела и к поверхности жидкости называется краевым углом. В соответствии с (145.1)

cosϑ					=	αT r		− αT ж				(145.2)
						1			1
							α ж r
									1
Краевой угол определяется выражением (145.2) только при условии, что
				αT r − αT ж						≤ 1.
				1		1						(145.3)
					α ж r
						1
Если (145.3) не выполняется, т.е.		αT r			− αT ж				> α ж r ни при каком значении Ь не
		1				1			1

может установиться равновесие. Это имеет место в двух случаях.

1) αТ1r > αT1ж + α ж1r.Как бы ни был мал угол ϑ , сила αT1r перевешивает две другие

(рис. 320, а). В этом случае жидкость неограниченно растекается по поверхности твердого тела

— имеет место полное смачивание. Замена поверхности твердое тело — газ двумя поверхностями, твердое тело - жидкость и жидкость — газ, оказывается энергетически выгодной. При полном смачивании краевой угол равен нулю.

353

			а)	б)
				Рис. 320.
2)	αТ	ж > αT r + α ж r. Как бы ни был угол ϑ близок к π , сила αT ж перевешивает
	1	1	1	1

две другие (рис. 320,6), В этом случае поверхность, по которой жидкость граничит с твердым телом, стягивается в точку, жидкость отделяется от твердой поверхности — имеет место полное несмачивание. Замена поверхности твердое тело — жидкость двумя поверхностями, твердое тело — газ и жидкость — газ, оказывается энергетически выгодной. При полном несмачивании краевой угол равен π .

	а)			б)
		Рис. 321.
При соблюдении условия (145.3) краевой угол может оказаться острым или тупым в
зависимости от соотношения между αT r		и αT ж . Если αT r		больше, чем αT ж то
	1	1	1	1
cosϑ > 0 и угол ϑ — острый (рис. 321, а). В этом случае имеет место частичное смачивание.
Если αT r	меньше, αT ж , то cosϑ < 0 и угол ϑ — тупой (рис. 321, б) В этом случае имеет
1	1

место частичное несмачивание.

Несмачивание может приводить к любопытным явлениям. Известно, что смазанная жиром иголка или бритвенное лезвие могут держаться на поверхности воды. Объяснение этого, на первый взгляд удивительного, явления проще всего дать, исходя из энергетических соображений. Смазанная жиром поверхность стали не смачивается водой; поверхность соприкосновения сталь — вода обладает гораздо большей энергией, чем поверхность сталь — воздух или воздух—вода. Полное погружение иглы в воду сопровождается увеличением

поверхностной энергии от значения SαT1r (сталь — воздух) до значения SαT1ж (сталь —

вода), где S — поверхность иглы. Изменение поверхностной энергии при погружении описывается изображенной на рис. 322 кривой EПОВ.

354