ln	N1	=	p′(h2 − h1 )	.
	N2
			kT

С помощью этой формулы по измеренным p’, T, (h2-h1), ∆N1 и ∆N2 можно определить постоянную Больцмана k. Далее, разделив универсальную газовую постоянную R на k, можно было найти число Авогадро.

Полученное Перреном на различных эмульсиях значение NA лежало в пределах от 6,5•1026 до 7,2•1026 кмоль-1. Определенное другими, более точными методами значение NA равно 6,02•1026 кмоль-1. Таким образом, значение, полученное Перреном, находится в хорошем согласии со значениями, полученными другими методами, что доказывает применимость к броуновским частицам распределения (109.4).

§111. Средняя длина свободного пробега

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 248).

Рис. 248.

Как мы увидим в дальнейшем (см. §117), эффективный диаметр несколько уменьшается с

увеличением скорости молекул, т. е. с повышением температуры. Величина σ = πd 2 называется эффективным сечением молекулы.

За время между двумя последовательными соударениями молекула газа проходит некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. Длина свободного пробега

— случайная величина. Иной раз молекуле удается пролететь между соударениями довольно большой путь, в другой раз этот путь может оказаться весьма малым. Как можно показать, вероятность w(l) того, что молекула пролетит без столкновений путь l, определяется формулой

	−	r		(111.1)
	ω(l) = e λ ,

где λ — средний путь l, проходимый молекулой между двумя последовательными соударениями, называемый средней длиной свободного пробега. В соответствии с (111.1) вероятность того, что молекула пролетит без столкновений некоторый путь l, убывает экспоненциально с увеличением l. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости υ . Если за секунду она претерпевает в среднем v столкновений, то средняя длина свободного пробега, очевидно, будет равна

λ =	υ
	ν .	(111.2)

Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений v, предположим вначале, что все молекулы кроме данной, застыли неподвижно на своих местах. Проследим за движением выделенной нами молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнется с каком-либо другой неподвижной молекулой (рис. 249). Это соударение произойдет в том случае, если центр неподвижной молекулы

276

окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулы d. В результате столкновения молекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на ее пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах показа иного на рис. 249, цилиндра радиуса d.

Рис. 249.

За секунду молекул а пройдет путь, равный υ . Очевидно, что число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины υ и радиуса d, объем которого равен

πd 2υ .Умножив этот объем на число молекул в единице объема n, получим среднее число столкновении за секунду движущейся молекулы с неподвижными:

ν′ = πd 2υ n.

Вдействительности все молекулы движутся, вследствие чего число соударений определяется средней скоростью движения молекул по отношению друг к другу. Как

показывает соответствующий расчет, средняя скорость относительно движения молекул в 2 раз больше скорости υ молекул относительно стенок сосуда. Поэтому среднее число столкновений за секунду будет равно

ν =	2πd 2υ n	(111.3)
Подставив это число в (111.2), получим для средней длины свободного пробега следующее
выражение:
λ =	1
	2πd 2n .	(111.4)
Заменив эффективным диаметр d эффективным сечением молекулы σ , получим
следующую формулу:
λ =	1
	2σn .	(111.5)

Поскольку при постоянной температуре n изменяется пропорционально давлению р, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению:

λ ≈	1	.	(111.6)
	p

Эффективный диаметр молекул, как уже отмечалось, убывает с ростом температуры. Поэтому средняя длина

277

Рис. 250.

свободного пробега с повышением температуры растет. Зависимость λ от Т дается формулой Сёзерленда:

	T	,
λ = λ∞ T + C			(111.7)

где С—характерная для каждого газа постоянная величина, имеющая размерность температуры

и носящая название постоянной Сёзерленда, λ∞ — средняя длина свободного пробега при

T = ∞ .

Из (111.7) следует, что при температуре Т=С значение λ составляет 0,5λ∞ .

На рис. 250 показана зависимость λ от температуры для кислорода (С=1250)

Оценим по порядку величины среднюю длину свободного пробега и среднее число столкновений в секунду. В §92 мы установили, что молекулы имеют размеры порядка нескольких ангстрем. Примем эффективный радиус молекулы равным 1 А, т. е. 10-10 м. При нормальных условиях n равно числу Лошмидта, т. е. 2,68*1025 м-3. Подставив эти данные в формулу (111.4), получим:

	λ =	1		≈ 2 10− 7	м = 2 10−5 см.
		3,14 4 10− 20	2,68 1025
	2

При давлении 10-3 мм рт. ст. (что соответствует примерно 10-6 ат) λ , будет порядка 10 см. Следовательно, если сосуд имеет линейные размеры порядка нескольких сантиметров, то при таком давлении молекулы будут двигаться от стенки к стенке практически без столкновений

друг с другом. При давлении 10-6 мм рт. ст. λ достигает величины порядка десятков метров.

В таблице 8. приведены значения λ при нормальных условиях и эффективные диаметры молекул для некоторых газов.

278

Таблица 8

Газ	λ , м при 00С и 760 мм. рт.ст.	d,A	Газ	λ , м при 00С и 760 мм. рт.ст.	d, A
H2	1,10*10-7	2,75	N2	0,59*10-7	3,75
He	1,75*10-7	2,18	Воздух	0,60*10-7	3,74
О2	0,63*10-7	3,64	СО2	0,39*10-7	4,65

Число столкновений в секунду можно получить, разделив среднюю скорость молекул υ на λ . В §106 мы по лучили для кислорода υ порядка 500 м/сек. Разделив эту величину на взятое

из таблицы 8 значение λ = 0,63 10− 7 , получим, что число столкновении в секунду равно

примерно 8*109 сек-1. Таким образом, при нормальных условиях число столкновений составляет несколько миллиардов в секунду. С уменьшением давления число столкновений убывает, изменяясь пропорционально p.

§112. Явления переноса. Вязкость газов

До сих пор мы рассматривали газ, находящийся в равновесном состоянии. Такое состояние характеризуется одинаковостью во всех точках занимаемого газом объема таких величин, как температура, давление, относительное количество молекул разного сорта и т. п. Теперь мы рассмотрим явления, возникающие при отклонениях газа от равновесия, причем ограничимся случаями, когда эти отклонения невелики. Подобные явления по причинам, которые выяснятся

вдальнейшем, получили название явлений переноса. Мы рассмотрим только три таких явления

—внутреннее трение или вязкость, теплопроводность и диффузию.

Отметим, что статистическая физика имеет дело только с равновесными состояниями тел. Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равновесия, носит название физической кинетики.

Рис. 151.

Рассмотрение явлений переноса мы начнем с вязкости газов. Если скорость u в потоке газа меняется от слоя к слою, то иа границе между двумя смежными словами (рис. 251) действует сила внутреннего трения, величина которой, как известно из механики, определяется эмпирической формулой:

f =η dudz S

где η — коэффициент вязкости пли коэффициент внутреннего трения,

du dz

(112.1)

— градиент

скорости, т. е величина, показывающая, как быстро изменяется скорость движения газа u в направлении z, перпендикулярном к поверхности, разделяющей слои, S — величина поверхности, по которой действует сила f.

279

Чтобы понять происхождение силы внутреннего трения, рассмотрим два соприкасающихся слоя газа некоторой толщины ∆z. Предположим, что слои движутся с различными скоростями u1 и u2 (рис. 252). Каждая молекула газа участвует в двух движениях: хаотическом тепловом, средняя скорость которого равна υ , и упорядоченном движении со скоростью u, которая значительно меньше, чем υ (υ ~103 м/сек, скорость ветра при самом сильном урагане ~102 м/сек).

Пусть в какой-то момент времени слои обладают импульсами К1 и К2. Эти импульсы не могут оставаться неизменными» так как вследствие теплового движения происходит непрерывный переход молекул из одного слоя в другой. За время ∆t через поверхность S переходит в обоих направлениях одинаковое количество молекул, равное

	1
N =	6 nυ	S t	(112.2)

(мало существенным влиянием упорядоченного движения на величинускорости молекул можно пренебречь).

Рис. 252.

Попав в другой слой, молекула претерпевает соударения с молекулами этого слоя, в результате чего она либо отдает избыток своего импульса другим молекулам (если она прилетела из слоя, движущегося с большей скоростью), либо увеличивает свой импульс за счет других молекул (если она прилетела из слоя, движущегося с меньшей скоростью). В итоге импульс более быстро движущегося слоя убывает, а более медленно движущегося — возрастает.

Например, из первого слоя уносится молекулами за время ∆t импульс, равный

′	= Nmuν ,
K1

где ∆N определяется формулой (112.2), m — масса молекулы. Одновременно в этот слой привносится импульс

′′	= Nmu2.
K1

Следовательно, за время ∆t импульс первого слоя получает приращение, равное

K1 =

′′

−

′

=

(

− u1

)

=

1

(

)

K1

K1

Nm u2

6

nυ m u2

− u1 S t.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что импульс второго слоя получает при этом приращение

K2 = − K1.

Основываясь на связи между изменением импульса и силой, можно утверждать, что движение слоев происходит таким образом, как если бы по поверхности S на первый слон действовала сила

	f1 =	K1	=	1	nυ	m(u2 − u1 )S,	(112.3)
				6
		t

(112.3) а на второй слой — сила

280

f2 = − f1 = 16 nυ m(u1 − u2 )S.

Из формулы (112,3) следует, что сила, с которой взаимодействуют два смежных слоя, равна импульсу, переносимому молекулами через поверхность раздела за секунду.

Чтобы получить окончательную формулу для силы трения, нужно учесть, что скорость не может, как мы предполагали, изменяться скачком на границе двух слоев, а изменяется непрерывно в перпендикулярном к слоям направлении z [u=u(z), см.рис.253]. Каждая молекула, пролетающая через поверхность S, переносит импульс, определяемый значением скорости u в том месте, где произошло последнее столкновение молекулы. Через поверхность S будут пролетать молекулы, претерпевшие соударение на самых различных расстояниях l от S, причем вероятность различных l определяется формулой (111.1). В среднем последнее соударение

происходит на расстоянии от S, равном средней длине свободного пробега λ (рис. 253).

Рис. 253.

Поэтому молекулам пролетающим через S в направлении сверху вниз (на рисунке), нужно приписать значение скорости в сечении с координатой z+λ а молекулам, пролетающим в направлении снизу вверх, — значение скорости в сечении с координатой z-λ1. Поскольку λ очень мала, эти скорости можно представить следующим образом:

du
u ( z + λ ) = u ( z) + dz	λ,	(112.4)
u ( z − λ ) = u ( z) − du
	λ
dz

где u(z)—скорость газа в том сечении, где мы мысленно расположили поверхность раздела S, du

dz -значение производной в том же сечении.

Теперь силу трения можно вычислить по формуле (112.3), подставив вместо u1 и u2 значения

(112.4):

1 Это подтверждается точным расчетом, произведенным с учетом распределения молекул по линиям свободного пробега.

281

f =	1		du
		nυ	m		2λ S
	6
			dz

Учитывая, что nm равно плотности газа р, последнюю формулу можно написать в виде

f =	1	ρυλ	du	S	(112.5)
	3
		dz

Сравнение (112.5) с эмпирической формулой (112.1) показывает, что, исходя из газокинетических представлений, нам удалось не только прийти к правильной зависимости f от du

dz и S, но и получить выражение для коэффициента вязкости η. Действительно, из их

сопоставления вытекает, что
η =	1	ρυλ	(112.6)
	3

Более строгий расчет, учитывающий ряд факторов, которыми мы пренебрегли, приводит к такой же формуле, но с несколько отличным числовым коэффициентом.

Исследуем полученное нами выражение (112.6) для коэффициента вязкости газов. Заменяя р на nm и учитывая, что средняя скорость υ пропорциональна Τ / m , а средняя длина свободного пробега λ пропорциональна 1/nd2 можно написать:

		Τ 1					m		(112.7)
	η nm m nd				2		σ	Τ

Прежде всего обращает на себя внимание, что η не зависит от числа молекул в единице объема, а следовательно, и от давления (р=nkΤ). Этот, на первый взгляд, удивительный результат имеет следующее объяснение. С понижением давления уменьшается n, т. е. число молекул, участвующих в переносе импульса. Одновременно растет λ, а значит, и различие в импульсах, переносимых одной молекулой в противоположных направлениях. В итоге получается, что суммарный импульс, переносимый молекулами при данном градиенте скорости

dudz , не зависит от давления. Это справедливо лишь до тех пор, пока λ остается малой по

сравнению с размерами зазора, в котором течет газ (например, по сравнению с диаметром трубы). По мере того как перестает выполняться это условие, вязкость начинает все больше зависеть от давления, уменьшаясь с его понижением. Когда средняя длина пробега становится сравнимой с размерами зазора, в котором течет газ, пробег молекул будет определяться величиной зазора и λ перестает зависеть от давления. Число же молекул в единице объема при уменьшении давления продолжает убывать, вследствие чего уменьшается и η.

Согласно (112.7) коэффициент вязкости должен расти с температурой пропорционально

Τ .В таблице 9 приведены полученные экспериментально значения вязкости воздуха при различных температурах.

T , 0K	η, мкпз	n / Τ
237	171	10,4
313	190	10,7
573	295	12,3
673	328	12,6
773	358	12,9

Если бы η изменялся пропорционально Τ , отношение n / Τ должно было бы оставаться постоянным. Как видно из таблицы, это отношение обнаруживает некоторое увеличение с

ростом Т, так что и возрастает несколько быстрее, чем Τ . Причиной этого служит

282