Рис.81

Силы Кориолиса проявляются и при качаниях маятника. На рис. 81 показана траектория груза маятника (для простоты предположено, что маятник находится на полюсе). На северном полюсе сила Кориолиса будет все время направлена вправо по ходу маятника, на южном полюсе — влево. В итоге траектория имеет вид розетки.

Как следует из рисунка, плоскость качаний маятника поворачивается относительно Земли в направлении часовой стрелки, причем за сутки она совершает один оборот. Относительно гелиоцентрической системы отсчета дело обстоит так, что плоскость качаний остается неизменной, а Земля поворачивается относительно нее, делая за сутки один оборот.

Можно показать, что на широте φ плоскость качаний маятника поворачивается за сутки на угол2π sinϕ .

Таким образом, наблюдения за вращением плоско качаний маятника {маятники, предназначенные для э цели, называются маятниками Фуко) дают непосредственное доказательство вращения Земли вокруг оси.

Глава V. Механика твердого тела

§34. Движение твердого тела1

Во введении мы познакомились с двумя основными видами движения твердого тела — поступательным вращательным.

При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, центра инерции) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела.

При вращательном движении все точки тверд тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения Для описания вращательного движения нужно зад, положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Оказывается, что любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух указанных выше основных видов движения. Покажем это для случая плоского движения,

1 В этой главе всюду, кроме §45, имеется в виду абсолютно твердое тело.

89

т. е. такого, при котором точки тела перемещаются в параллельных плоскости. Примером плоского движения может служить качение цилиндра по плоскости (рис. 82).

Произвольное перемещение твердого тела из положения 1 в положение 2 (рис. 83) можно представить как сумму двух перемещений — поступательного перемещения из положения 1 в положение 1' или 1'' и поворота вокруг оси O' или оси О". Очевидно, что такое разбиение перемещения на поступательное и вращательное может быть осуществлено бесчисленным множеством способов, однако в любом случае производится поворот на один и тот же угол φ.

Рис. 82.

В соответствии со сказанным выше элементарное перемещение какой-либо точки тела ds можно разложить на два перемещения — «поступательное» dsп и «вращательное» dsв :

ds = dsп + dsв , причем dsп для всех точек тела одно и то же.

Такое разложение перемещения ds можно, как мы видели, осуществить различными способами, причем в

Рис 83.

каждом случае вращательное перемещение dsв осуществляется поворотом тела на один и тот же угол dφ (но относительно различных осей), в то время как dsп и dsв оказываются различными.

Разделив ds на соответствующий промежуток времени dt, получим скорость точки v: v = dsdt = dsdsп + dsdtd = v0 + v′

где v0 —одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения и v' — различная для разных точек тела скорость, обусловленная вращением.

Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений

— поступательного со скоростью v0 и вращательного с угловой скоростью ω (вектор ω на рис. 82 направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж). Подобное представление

90

сложного движения можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями v0 и v', но соответствующих одной и той же угловой скорости ω.

Рис.84

Например, движение цилиндра, катящегося без скольжения по плоскости (рис. 82), можно представить как поступательное движение со скоростью v0 и одновременное вращение с

угловой скоростью w вокруг оси О, либо как поступательнoe движение со скоростью Рис. 84, v′′ = 2v0′′ = 2v0 и вращение с той же угловой скоростью ω вокруг оси О", либо, наконец, как одно только вращение опять таки с той же угловой скоростью ω вокруг оси О'

Назвав систему отсчета, относительно которой мы рассматриваем сложное движение твердого тела, неподвижной, движение тела можно представить как вращение с угловой скоростью ω в системе отсчета, которая движется относительно неподвижной системы поступательно со скоростью v0 .

Линейная скорость v' точки с радиусом-вектором r, обусловленная вращением твердого тела, равна (рис.84)

v′ = [ωr]

Следовательно, скорость этой точки при сложном движении тела может быть представлена в виде

v = v0 + [ωr].

(34.1)

Существуют такие точки (они могут лежать в пределах тела, либо вне его), которые, участвуя в обоих движениях— поступательном и вращательном, будут неподвижными. В самом деле, при заданных v0 и ω всегда можно найти такое r, что (34.1) будет равно нулю.

Пусть в данный момент движущаяся поступательно система отсчета имеет скорость v0 (рис.

85). Тело в этой системе вращается с угловой скоростью w в направлении, указанном стрелкой. Скорость v', обусловленная вращением, имеет для различных точек значения» показанные на рисунке. Для точки О' скорости v0 и v' равны по величине и противоположны по направлению.

Следовательно» скорость этой точки относительно неподвижной системы отсчета равна нулю. Вместе с тем, если имеется хотя бы один вектор r, который при векторном перемножении с о даст вектор

91

Рис. 85.

Рис. 86

равный — v0 , то существует еще ряд векторов, которые при векторном перемножении с ω дают

такой же результат; векторное произведение ω на любой из изображенных на рис. 86 векторов r имеет одинаковую величину и направление. Точки, определяемые этими радиусами-векторами, будут в рассматриваемый момент времени неподвижными. Эти точки, как видно из рисунка, лежат на одной прямой и образуют так называемую мгновенную ось вращения. Положение мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы отсчета и относительно самого тела, вообще говоря, меняется со временем, В случае катящегося цилиндра (рис.82) мгновенная ось 0' совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью. При качении цилиндра мгновенная ось перемещается как по плоскости (т. е. относительно неподвижной системы отсчета), так и по поверхности цилиндра.

Скорости всех точек тела для каждого момента времени можно считать обусловленными вращением вокруг соответствующей мгновенной оси. Следовательно, плоское движение твердого тела можно рассматривать как ряд последовательных элементарных вращений вокруг мгновенных осей.

В общем случае движение (не плоское) можно представить как вращение вокруг мгновенной оси и происходящее одновременно поступательное перемещение вдоль этой оси.

§35. Движение центра инерции твердого тела

Разбив тело на элементарные массы mi, можно представить его как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил, обусловленных ее взаимодействием с другими элементарными массами рассматриваемого тела, так и внешних сил. Например, если тело находится в поле сил земного тяготения, на каждую элементарную массу тела mi будет действовать внешняя сила, равная mig.

Напишем для каждой элементарной массы уравнение второго закона Ньютона
mi wi = fi + Fi	(35.1)

где fi — результирующая всех внутренних сил, Fi — результирующая всех внешних сил, приложенных к данной элементарной массе. Складывая уравнения (35.1) для всех элементарных масс, получим:

∑ mi wi = ∑ fi + ∑Fi .

(35.2)

Однако сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю. Поэтому уравнение (35.2) упрощается следующим образом:

92