осциллятор будет обнаружен в одном из положений в пределах от -а до +а, и, следовательно, как вероятность всякого достоверного события, должна быть равна единице.

Отметим, что квантовая механика дает для вероятности различных положений гармонического осциллятора существенно отличный результат.

§65. Малые колебания системы вблизи положения равновесия

Рассмотрим произвольную механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим через х. В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Величиной х, определяющей положение системы, можег быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, отсчитываемое вдоль заданной кривой, в частности прямой, линии и т. п. Потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной х: Ер=Ер(х). Выберем начало отсчета х таким образом, чтобы в положении равновесия системы х был равен нулю. Тогда функция Ер(х) будет иметь минимум при х=0. Разложим Ер(х) в ряд по степеням x, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями x: можно будет пренебречь. По формуле Маклорена

Ep (x) = Ep (0) + E'p (0) x + 12 E''p (0) x2

(ввиду малости x остальными членами пренебрегаем). Поскольку Ер(х) при x=0 имеет минимум, E’p(0) равна нулю, а E’’p(0) положительна. Введем обозначения : Ер (0) b, E’’p(0)=к (к>0). Тогда

Ep (x) = b +	1 kx2.	(65.1)
	2

Выражение (65.1) идентично с выражением (62.3) для потенциальной энергии системы, в которой действует квазиупругая сила (константу b можно положить равной нулю).

Используя соотношение (28.5), можно найти силу, Действующую на систему: f = fx = − ∂∂Exp = −kx.

Итак, потенциальная энергия системы при малых отклонениях от положения равновесия оказывается квадратичной функцией смещения, а сила, действующая на систему, имеет вид квазиупругой силы. Следовательно, при малых отклонениях от положения равновесия любая механическая система будет совершать колебания, близкие к гармоническим.

§66. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нитке.

172

Рис. 169.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ, образованным нитью с вертикалью (рис. 169). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине mgl sin φ (т — масса, а l — длина маятника). Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и аналогичен в этом отношении квазиупругой силе. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, моменту М и угловому смещению φ нужно приписывать противоположные знаки1. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид

M = −mgl sinϕ.					(66.1)
Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначив угловое
ускорение через φ и учитывая, что момент инерции маятника равен m/2, получаем:
ml2ϕ = −mgl sinϕ.
Последнее уравнение можно привести к виду
ϕ +		g		sinϕ = 0.	(66.2)
		l
Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае можно положить sinϕ ≈ ϕ.
Введя, кроме того, обозначение
		g	= ω02 ,		(66.3)
		t
мы придем к следующему уравнению:
ϕ + ω02 = 0,					(66.4)
которое идентично с уравнением (62.6) для шарика, подвешенного на пружине.
Его решение имеет вид
ϕ = a cos(ω0t + α ).					(66.5)

Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.

Как следует из (66.3), частота колебаний математического маятника зависят только от длины маятника и от ускорения силы тяжести и не зависит от массы маятника. По формуле (62.8) с

1 Рассматривая φ как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта (это допустимо при малых φ), противоположность знаков при М и φ можно объяснить тем, что векторы M и φ направлены в противоположные стороны (рис 169).

173

учетом (66.3) получается известное из школьного курса выражение для периода колебаний математического маятника:

T = 2π	l	.	(66.6)
	g

Отметим, что, решив уравнение (66.2), можно найти для периода колебании следующую формулу:

	T = 2π	l	{1+ (	1)2 sin2 a		+ (	1 3)2 sin4 a		+ ...},
		g
				2	2		2 4	2

где а—амплитуда колебаний, т. е. наибольший угол, на который отклоняется маятник из положения равновесия»

§67. Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С под точкой подвеса маятника О, на одной с ней вертикали (рис. 170). При отклонении маятника от положения равновесия на угол ϕ возникает вращательный момент,

стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен
M = −mgl sinϕ,	(67.1)

где m— масса маятника» а l-расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника. Знак «-» имеет то же значение, что и в случае формулы (66.1). Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой l можно написать:

Iϕ = −mgl sinϕ.

(67.2)

Рис. 170.

В случае малых колебаний (67.2) переходит в уже известное нам уравнение:

	ϕ + ω02ϕ = 0	(67.3)
Через ω 2	обозначена в данном случае следующая величина:
0
	ω02 = mgl	(67.4)
	I

Из уравнений (67.3) и (67.4) следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния между осью

174

вращения и центром инерции маятника. В соответствии с (67.4) период колебания физического маятника определяется выражением

T = 2π	1	.	(67.5)
	mgl

Из сопоставления формул (66.6) и (67.5) получается, что математический маятник с длиной

	lпр =	I	,	(67.6)
		ml

будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (67.6) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку О' на рис.107).

По теореме Штейпера момент инерции маятника l может быть представлен в виде
I = I0 + ml2 ,	(67.7)

где l0 — момент инерции относительно оси, параллельной оси вращений и проходящей через центр инерции маятника. Подставив (67.7) в формулу (67.6), получаем:

	lпр =	I0	+ l.	(67.8)
		ml

Из (67.8) следует, что приведенная длина всегда больше 1, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.

Подвесим маятник в точке, совпадающей с центром качания О' В соответствии с (67.8) приведенная длина в этом случае будет равна

	lпр' =	I	+ l ',	(67.9)
		ml '

где l' — расстояние между первоначальным центром качания и центром инерции маятника. Учитывая, что l ' = lпр − l , выражение (07.9) можно записать следующим образом:

l'

=

I

+ l − l = l

+

I

[(I

+ ml2 ) − mll

].

m(l − l)

m(l

− l)

пр

пр

пр

пр

0

пр

пр

Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю. Действительно, I0 + ml2 равно I—

моменту инерции относительно первоначальной оси вращения; этой же величине в соответствии с (67.6) равно выражение mllпр. Таким образом, мы приходим к выводу, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса

.становится новым центром качания.

На установленном нами свойстве взаимности основано определение ускорения силы тяжести с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на нем тяжёлые грузы. Перемещением грузов добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно lпр. Измерив период колебаний маятника и зная l™, можно по Формуле

175