T = 2π	lпр
		g

найти ускорение силы тяжести g.

§68. Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма

Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одного и того же направления

Рис. 171.

значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, которую обозначим буквой х (рис. 171). Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длины а, образующий со с осью угол α . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω0 , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х в пределах от

—а до +а, причем координата этой проекции будет изменяться со временем не закону x = a cos(ω0 +α ).

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной длине вектора, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Из сказанного следует, что гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебания.

§69. Сложение колебаний одинакового направления

176

Рис. 172.

Возможны случаи» когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений. Если, например, подвесить шарик на пружине к потолку вагона, качающегося на рессорах, то движение шарика относительно поверхности Земли будет складываться из колебаний вагона относительно Земли и колебаний шарика относительно вагона.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х1 и х2 которые запишутся следующим образом:

x	= a cos(ω t + α ),
1	1	0	1
x	= a	cos(ω t + α ).}			(69.1)
2	2	0	2

Представим оба колебания с помощью векторов а1 и а2 (рис. 172). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор а. Легко видеть, что проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

x = x1 + x2.

Следовательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ω0 , как и векторы а1 и а2, так что результирующее

движение будет гармоническим колебанием с частотой ω0 , амплитудой а и начальной фазой а. Из построения видно, что

a2	= a2	+ a2	− 2a a				2	cos[π − (α				1	− α		2	)] =
	1	2				1										(69.2)
a2	+ a2	+ 2a a				cos(α				− α	)
					2				2
1	2	1								1
	tgα =			a1 sinα1						+ a2 sinα2				.		(69.3)
				a1 cosα1
										+ a2 cosα2

Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот прием бывает особенно полезен, например, в оптике, где световые колебания в некоторой точке определяются как результат наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта.

Формулы (69.2) и (69.3) можно, конечно, получить, сложив выражения (69.1) и произведя соответствующие тригонометрические преобразования. Но примененный нами способ получения этих формул отличается большей простотой и наглядностью.

Проанализируем выражение (69.2) для амплитуды, Если разность фаз обоих колебаний α2 − α1 равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме а1 и а2. Если разность

фаз α2 − α1 равна +π или−π , т. е. оба колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна α1 − α2 .

Если частоты колебаний х1 и х2 неодинаковы, векторы а1 и а2. будут вращаться с различной скоростью, В этом случае результирующий вектор а пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс.

§70. Биения

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

177

Обозначим частоту одного из колебаний буквой ω , частоту второго колебания через ω + ω . По условию ω << ω . Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и

равными а. Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Практически это означает,

Рис. 173.

что мы должны дождаться, пока смещения в обоих колебаниях достигнут одновременно наибольшего положительного значения, и в этот момент запустить секундомера. Тогда уравнения обоих колебании будут иметь следующий вид:

		x1 = a cosωt
		x2 = a cos(ω +		ω )t
Складывая эти два выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы
косинусов, получаем:
		x = x1 + x2 =		ω		(70.1)
			2a cos	2	t cosωt
(во втором множителе пренебрегаем членом			ω / 2 сравнению ω ).
График функции (70.1) изображен на рис. 173, а.
График построен для ω		= 10
	ω

Заключенный в скобки множитель в формуле (70.1) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель

Ввиду условия ω << ω за то время, за которое множитель cosωt совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (70.1) как гармоническое колебание частоты ω , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в делах от —2а до +2а, в то время как амплитуда по определению — положительная величина. График амплитуды показан на рис. 173,6. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид;

178

Рис. 174.
амплитуда=		2a cos	ω	t		.	(70.2)
			2

Функция (70.2) —периодическая функция с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящее

го под знаком модуля (см. рис. 174, на котором сопоставь лены графики косинуса и его модуля), т. е. с частотой Aw, Таким образом, частота пульсаций амплитуды —ее называют частотой биений — равна разности частот складываемых колебаний

	Отметим, что множитель 2a cos	ω	t не только определяет амплитуду, но и влияет на фазу
		2

колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см.точки М1и М2 рис. 173,б).

§71. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим систему, обладающую двумя степенями свободы, т. е. такую систему, для задания положения которой необходимы две величины. Примером может служить тяжелый шарик, подвешенный на легкой длинной пружине, конец которой закреплен на шарнире так, что шарик вместе с пружиной может совершать маятникообразные колебания в одной плоскости. Положение шарика можно определить, задав угол ϕ образуемый осью пружины с

вертикалью и расстояние l от оси шарнира до центра шарика. Шарик может участвовать в двух колебаниях: во-первых, в колебаниях, при которых изменяется угол ϕ , во-вторых, в

колебаниях, при которых изменяется расстояние l Частота первого колебания определяется длиной пружины l и ускорением

179

Рис. 175.

силы тяжести g, частота второго — коэффициентом упругости пружины k и массой шарика m.. Если возбудить одновременно оба колебания, то шарик, вообще говоря, будет двигаться по некоторой сложной траектории (рис, 175), форма которой зависит от соотношения частот и начальных фаз обоих колебаний.

В качестве второго примера рассмотрим тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити (математический маятник)1. Этот шарик может совершать два колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, причем частоты обоих колебании точно совпадают (обе частоты определяются длиной маятника t и ускорением силы тяжести g). В этом случае шарик, вообще говоря, движется по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

Перейдем к сложению двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной и той же частоты ω , совершающихся вдоль координатных осей х и y. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x = a cosωt,
y = b cos(ωt + α ),		(71.1)

где α — разность фаз обоих колебаний,

Выражения (71.1) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по котором движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнении (71.1) параметр l. Из первого уравнения следует, что

cosωt =		x		.		(71.2)
		a
Следовательно,
sinωt =	1−			x2	.	(71.3)
				a2

Теперь развернем косинус во втором из уравнений (71.1) по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо cosωt и sinωt их значения (71.2) и (71,3), В результате получим:

1 В §66 мы предполагали, что такой маятник совершает колебания в заданной плоскости, вследствие чего его можно было рассматривать как систему с одной степенью свободы.

180

	y	=	x	cosα − sinα 1	−	x2	.
	b		a			a2

Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду

	x2	+	y2	−	2xy cosα = sin2	α.	(71.4)
	a2		b2
					ab

Как известно из аналитической геометрии, уравнение (71.4) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей х и у произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд а и b и разности фаз а.

Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.

1. Разность фаз а равна нулю. В этом случае уравнение (71.4) принимает вид

(	x	−	y	)2	= 0,
	a
			b
откуда получается уравнение прямой
		y = b x.				(71.5)
				a

Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой, при чем расстояние ее от начала координат равно r = x2 − y2 Подставляя сюда выражении (71.1) для x и у и учитывая, что а=0, получим закон, по которому r изменяется со временем:

r = a2 + b2 cosωt

(71.6)

Из (71.6) следует, что результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль прямой (71.5) с частотой ω и амплитудой, равной a2 + b2 (рис. 176),

Рис. 176					Рис. 177
2. Разность фаз а равна ±π . Уравнение (71.4) имеет вид
(	x	+	y	)2	= 0,
	a
			b

откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 177)

y = − ba x. 3. При α = ±π /2 уравнение (71.4) переходит в

	x2	+	y2	= 1,	(71.7)
	a2		b2

181

т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд а и b эллипс вырождается в окружность.

Случаи α = +π /2 2 и α = -π /2 отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности. Если α = +π /2 , уравнения (71.1) можно записать следующим образом;

x = a cosωt,

y= −bsinωt.

Вмомент t=0 тело находится в точке 1 (рис. 178). В последующие моменты времени координата х уменьшается, а координата у становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке.

При α = -π /2 уравнения колебаний имеют вид

x = a cosωt, y = bsinωt.

Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки.

(71.8)

(71.9)

Из сказанного следует, что равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний

x = R cosωt,
y = ± R sinωt	(71.10)

Рис. 178

(знак "+" в выражений для у соответствует движению против часовой стрелки, знак "-" — движению по часовой стрелке).

В заключение отметим, что в случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на очень малую величину Д», их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний можно представить следующим образом:

x = a cosωt

y = b cos[ωt + ( ωt + α )]

и выражение ωt + α рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону.

Результирующее движение в этом случае происходит по медленно видоизменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от −π до+π .

182