Очевидно, что площадь, ограниченная осью V кривой p=f(V) и прямыми V1, и V2 численно равна работе, совершаемой при изменении объема от значения V1, и V2.

Заметим, что, использовав выражение (96.1) (с переходом к дифференциалам), уравнение (95.4) первого начала термодинамики можно написать следующим образом:

d 'Q = dU + pdV .

(96.4)

§97. Температура

К определению понятия температуры можно прийти на основании следующих соображений. Если несколько соприкасающихся тел находятся в состоянии теплового равновесия, т. е. не обмениваются энергией путем теплопередачи, то этим телам приписывается одинаковая температура. Если при установлении теплового контакта между телами одно из них передает энергию другому посредством теплопередачи, то первому телу приписывается большая температура, чем второму. Ряд свойств тел — объем, электрическое сопротивление и т. п. — зависит от температуры. Любое из этих свойств может быть использовано для количественного определения температуры.

Приведем тело, выбранное нами для измерения температуры (термометрическое тело), в тепловое равновесие с тающим льдом, припишем телу в этом случае температуру 0° и охарактеризуем количественно то свойство тела (температурный признак), которое мы намереваемся использовать для измерения температуры. Пусть в качестве такого признака выбран объем тела и значение его при 0° равно V0 Затем приведем то же тело в тепловое равновесие с кипящей под атмосферным давлением водой, припишем ему в этом состоянии значение температуры, равное 1000, и определим соответствующий объем V100 Принимая, что выбранный нами температурный признак (в рассматриваемом примере — объем) изменяется с температурой линейно, состоянию, в котором термометрическое тело имеет объем V, следует приписать температуру

to =	V − V0	100o.	(97.1)
	V100 − V0

Установленная таким образом температурная шкала называется, как известно, шкалой Цельсия. Соотношение, аналогичное (97.1), можно написать и для случая, когда для измерения температуры берется не объем, а какой-либо иной температурный признак.

Проградуировав описанным способом термометр, его можно использовать для измерения температуры, приводя в тепловое равновесие с тем телом, температура которого нас интересует, и производя отсчет величины объема.

При сравнении термометров, использующих различные по природе термометрические тела (например, ртуть и спирт) или различные температурные признаки (например, объем и электрическое сопротивление), обнаруживается, что показания этих термометров, совпадая изза способа градуировки при 0е и 100°, не совпадают при других температурах. Отсюда следует, что для однозначного определения температурной шкалы необходимо условиться, кроме способа градуировки, также о выборе термометрического тела и температурного признака. О том, как делается этот выбор при установлении так называемой эмпирической шкалы температур, будет сказано в следующем параграфе. Забегая вперед, укажем, что на основе второго начала термодинамики может быть установлена температурная шкала, не зависящая от свойств термометрического тела (см. §130). Эта шкала называется абсолютной шкалой температур.

§98. Уравнение состояния идеального газа

Состояние некоторой массы газа определяется значениями трех параметров: давления р, объема V и температуры t0. Эти параметры закономерно связаны друг с другом, так что изменение одного из них влечет за собой изменение других. Указанная связь может быть задана аналитически в виде функции

F ( p,V ,to ) = 0.

(98.1)

232

Соотношение, дающее связь между параметрами какого-либо тела, называется уравнением состояния этого тела. Следовательно, (98.1) представляет собой уравнение состояния данной массы газа.

Если разрешить (98.1) относительно какого-либо из параметров, например р, уравнение состояния примет вид

p = f (V ,t0 ).

(98.2)

Известные из школьного курса законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака дают уравнения состояния для случаев, когда один из параметров остается постоянным. Так, например, закон Бойля — Мариотта гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре давление газа изменяется обратно пропорционально его объему. Аналитически это можно записать следующим образом:

pV = const(to = const).

(98.3)

Совокупность состояний, отвечающих одной и той же температуре, изобразится на диаграмме (р, V) кривой, определяемой уравнением (98.3), т. е. гиперболой. Каждому значению температуры соответствует своя кривая (рис. 216,а). Эти кривые называются изотермами («изо»

— одинаковый, равный).

Переход газа из одного состояния в другое, совершающийся при постоянной температуре, называется изотермическим процессом. При изотермическом процессе точка, изображающая состояние газа, перемещается по изотерме.

А)	Б)	В)
	Рис. 216

На диаграмме (р,t°) или (V1,t0) изотермический процесс изображается прямой, параллельной оси р (соответственно V). Эти прямые также будут изотермами. Третий параметр V (соответственно р) не сохраняет вдоль этих прямых постоянного значения, возрастая при перемещении по прямой в указанном стрелкой направлении (рис. 216,б и в).

Закон Гей-Люссака гласит, что при неизменном давлении объем данной массы газа меняется линейно с температурой:

V = Vo (1+αt0 )( p = const)	(98.4)
Аналогичная зависимость имеется для давления при постоянном объеме:
p = p0 (1+αt0 )(V = const).	(98.5)

В этих уравнениях t0 — температура по шкале Цельсия, Vo — объем при 0°С, pо — давление при 0°С. Коэффициент α в обоих уравнениях одинаков и имеет значение 1/273 1/град1.

Процесс, протекающей при постоянном давлении, называется изобарическим. Для газа такой процесс изобразится на диаграмме (V,t0) прямой (98.4) (рис. 217, а); различные прямые

1 Точнее, 1/273,15 град-1

233

отвечают разным давлениям). Эта прямая называется изобарой. Отметим, что на диаграмме (р, t°) или (р, V) изобара имеет вид прямой, параллельной оси t° или соответственно оси V,

А)

Б)

Рис. 217

Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорическим. На диаграмме (p,t0) изохоры имеют вид, показанный па рис. 217, б.

Заметим, что, как следует из (93.4) и (98.5), все изобары и все изохоры пересекают ось t° в одной и тон же точке, определяемой из условия

1+ αt0 = 0,

Откуда

t0 = − α1 = −273,150 C

Сместив начало отсчета температур в эту точку, мы перейдем от шкалы температур по Цельсию к другой температурной шкале, которая называется абсолютной (или шкалой Кельвина1). Как мы увидим в дальнейшем, абсолютная температура (т. е. температура, от-

считанная по абсолютной шкале) имеет глубокий физический смысл.

В соответствии с определением абсолютной шкалы, между абсолютной температурой (мы будем обозначать эту температуру буквой Т) и температурой по Цель сию t° имеется следующее соотношение:

T = to +			1	= to	+ 273,15.			(98.6)
		α
Так, например, температуре 0°С соответствует 273,15°К. Температура, равная 0oК,
называется абсолютным нулем, ему соответствует -273,15° С.
Перейдем в уравнениях (98.4) и (98.5) от температуры по Цельсию к абсолютной
температуре. Для этого в соответствии с (98.6) нужно вместо t° подставить T −1/α .
V = V0 (1+ αt	o	) = V0				1
				1+	α T −		= αV0T	(98.7)
						α
и аналогично:
		p = α p0T.						(98.8)

Из этих уравнений следует, что

1 Соответственно градус этой шкалы обозначается °К.

234

	V1	=	T1	(98.9)
	V2		T2	(p=const),
	p1	=	T1	(98.10)
	p2
			T2	(V=const),

где индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям, лежащим на одной и той же изобаре [в случае (98.9)] или на одной и той же изохоре [в случае 98.10)].

Законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака являются приближенными. Всякий реальный газ тем точнее следует уравнениям (98.3), (98.9) и (98.10), чем меньше его плотность, т.е. чем больший объем он занимает. В соответствии с (98.3) объем растет с уменьшением давления, а согласно (98.9) объем возрастает с температурой. Следовательно, законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака справедливы при не слишком низких температурах и невысоких давлениях.

Газ, который точно следует уравнениям (98.3),(98.9) и (98.10) называется идеальным. Идеальный газ представляет собой абстракцию. Всякий реальный газ по мере убывания его плотности все больше приближается по свойствам к идеальному.

Некоторые газы, такие, как воздух, азот, кислород, при комнатной температуре и атмосферном давлении весьма близки к идеальному газу. Особенно близки по своим свойствам к идеальному газу гелий и водород.

Объединив уравнения Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, можно найти уравнение состояния идеального газа. Для этого возьмем на диаграмме (р, V) два произвольных состояния, определяемых значениями параметров p1, V1, T1, и p2, V2, T2 (рис. 218).

Рис. 218.

Рассмотрим процесс перехода из 1 в 2, состоящий из изотермы 1 — 1' и изохоры 1' — 2, Температура состояния 1', очевидно, совпадает с температурой состояния 1, а объем в V равен объему в состоянии 2. Давление р', вообще говоря, отлично от р1 и р2.

Состояния 1 и 1' лежат на одной изотерме. Поэтому в соответствии с (98.3) p1V1 = p 'V2 ,

Состояния 1' и 2 лежат на одной изохоре. Следовательно, согласно (98.10)

p ' = T1 . p2 T2

235

Исключая из этих уравнении p ' получим:

p1V1 = p2V2 . T1 T2

Поскольку состояния 1 и 2 были взяты совершенно произвольно, можно утверждать, что для любого состояния

	pV	= B,	(98.11)
	T

где B — постоянная для данной массы газа величина,

В соответствии с законом, установленным Авогадро, килограмм-молекулы всех газов занимают при одинаковых условиях (т.е. при одинаковых темпера туре и давлении) одинаковый объем. В частности, при так называемых нормальных условиях, т.е. при 0°С и давлении, равном 1 атм., объем киломоля любого газа равен 22,4 м3/кмоль1. Отсюда следует, что в случае, когда количество газа равно одному киломолю, вели чина В в (98.11) будет одинакова для всех газов. Обо значив соответствующую киломолю величину В бук вой R, а объем киломоля Vкм , уравнение (98.11) можно записать следующим образом:

	pVкм	= R.	(98.12)
	T

Это уравнение называют уравнением Клапейрона. Оно связывает параметры киломоля идеального газа и, следовательно, представляет собой уравнение состояния идеального газа. Его обычно пишут в виде

pVкм = RT.

(98.13)

Величина R называется универсальной газовой постоянной. Ее значение можно вычислить

на основании закона Авогадро, подставив в (98.12) p, равное 1,01 105 н/м2 (1 атм.), Vкм, равный 22,4 м3/кмоль, и Т, равную 273° К:

R =	1,01 105 22, 4		(н/ м2 ) м3	= 8,31103	дж	.
	273		град кмоль		град кмоль

Объем моля газа при нормальных условиях равен 22,4 л/моль. Перейдя от киломоля газа к молю и от джоулей к эргам и калориям, легко получить для универсальной газовой постоянной следующие значения;

	R = 8,31107	эрг	= 1,99		кал	.
		град моль		град моль
	Иногда R выражают в литро-атмосферах на градус на моль:
	R = 1атм 22,4л/ моль = 0,0820				л атм		.
	273град				град моль

От уравнения для одного киломоля легко перейти к уравнению для любой массы газа m, приняв во внимание, что при одинаковых давлении и температуре киломолей газа будут

занимать в z раз больший объем, чем один киломоль: V=zVкм. Умножив (98.13) z=m/ μ (т — масса газа, μ -масса киломоля) и заменив zVкм через V, получаем:

1 Заметим, что при нормальных условиях в 1 мг будет находиться

L =	6,061026	= 2,681025	молекул. Число L (или L ' ) называется
	22, 4	молекул, а в 1см3 L ' = 2,681019

числом Лашмилта.

236