Уравнение сферической волны, распространяющейся в поглощающей среде, имеет вид:

	ξ =	ae−γ r	cos w(t −	r	).	(82.17)
		r		v

§83. Интерференция и дифракция воли

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебании, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это вытекающее из опыта утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. Очевидно, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Рассмотрим две волны, распространяющиеся от точечных источников О1 и О2, колеблющихся с постоянной разностью фаз {такие источники называются, как и порождаемые ими волны, когерентными). Определим результирующее колебание в какой-либо точке среды при условии, что оба колебания, вызываемые каждой из волн в отдельности, имеют одинаковое направление (для этого расстояние между источниками волн должно быть значительно меньше расстояния от источников до данной точки либо колебания должны иметь направление, перпендикулярное к плоскости, в которой лежат источники и данная точка).

Пусть фазы колебаний источников О1 и О2 равны соответственно (wt + α1 ) и (wt + α2 ) .Тогда колебание в данной точке будет равно сумме колебаний:

ξ1 = α1 cos(wt + α1 − kr1 ), ξ2 = α2 cos(wt + α2 − kr2 ),

где a1 и a2— амплитуды волн в рассматриваемой точке, k—волновое число, r1 и r2 —расстояния от источников волн до данной точки.

Рис.201.
В точках, определяемых условием
k(r1 − r2 ) − (α1 − α2 ) = ±2π n. (n = 0,1,2,...),	(83.1)

колебания усиливают друг друга и результирующее движение представляет собой гармоническое колебание частоты w с амплитудой ( a1 + a2 ).

В точках, для которых

209

k(r1 − r2 ) − (α1 − α2 ) = ±2π (n +	1)	(n = 0,1,2,...),	(83.2)
	2

колебания ослабляют друг друга и результирующее движение является гармоническим колебанием с амплитудой, равной a1 + a2 .В частном случае, когда а1=а2, колебания в этих

точках будут отсутствовать. Условия (83.1) и (83,2) сводятся к тому, что
r1 − r2 = const	(83.3)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (83.3) есть уравнение гиперболы с фокусами в точках О1 и О2. Таким образом, геометрические места точек, в которых колебания усиливают или ослабляют друг друга, представляет собой свойство гипербол (рис. 201.) отвечающий случаю α1 − α2 = 0 . Сплошными линиями указаны места, в которых колебания

усиливают друг друга, пунктирными - места, в которых колебания ослабляют друг друга).

Волны, встретив на своем пути препятствие, огибают его. Это явление называется дифракцией. Возникновение дифракции можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса, которым устанавливается способ построения фронта волны в момент времени t+ t по известному положению фронта в момент времени t. Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент (рис. 202, среда предполагается неоднородной - скорость волны в нижней части рисунка больше, чем в верхней).

Рис.202.

Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рис. 203). По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими.

Рис. 203.

210

Построив огибающую вторичных волн, мы убеждаемся в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени (на рисунке границы этой области показаны пунктиром), огибая края преграды.

§84. Стоячие волны

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград.

Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях:

ξ1 = a cos(wt − kx), ξ2 = a cos(wt + kx).

Складывая вместе оба уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы

косинусов, получаем:
ξ = ξ1 + ξ2 = 2a cos kx cos wt.
Заменив волновое число k его значением 2π / λ выражению для ξ можно придать
следующий вид:
ξ = (2a cos 2π	x	)cos wt.	(84.1)
	λ

Уравнение (84.1) и есть уравнение стоячей волны. Из него видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда оказывается зависящей от x:

	амплитуда =	2a cos 2π	x		.
			λ
	В точках, где

	2π				x	= ±nπ	(n = 0,1,2,...).	(84.2)
					λ
амплитуда колебаний достигает максимального значений 2а. Эти точки называются
пучностями стоячей волны. Из условия (84.2) получаются значения координат пучностей:
	xпучн					= ±n λ	(n = 0,1,2,...).	(84.3)
						2
В точках, где
2π		x		= ±(n + 1)π			(n = 0,1,2,...),
		λ
						2

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют следующие значения:

xузл = ±(n +	1)	λ	(n = 0,1,2,...).	(84.4)
	2	2

Из формул (84.3) и (84.4) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно λ / 2 . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (84.1). Множитель (2a cos 2π λx ) при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла

211

отличается на π , т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т.е. в одной и той же фазе).

Рис. 204.

На рис. 204 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотограф» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц. Продифференцировав уравнение (84.1)

по x и t, мы найдем закон, по которому	изменяется деформация среды ε							и скорость частиц ξ :
ε = dξ		= −2 2π a sin 2π			x		cos wt,	(84.5)
dx			λ		λ
ξ = dξ			= −2wa cos 2π	x		sin wt.		(84.6)
dt				λ

Уравнение (84.5) описывает стоячую волну деформации, а (84.6) - стоячую волну скорости. Из вида этих уравнении следует, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами скорости и смещения (рис. 205).

212