Второе начало может быть также сформулировано следующим образом: невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых явилось бы отнятие от некоторого тела определенного количества тепла и превращение этого тепла полностью в работу.

На первый взгляд может показаться, что второй формулировке противоречит, например, процесс изотермического расширения идеального газа. Действительно, все полученное идеальным газом от какого-то тела тепло превращается полностью в работу. Однако получение тепла и превращение его в работу не единственный конечный результат процесса, кроме того, в результате процесса происходит изменение объема газа.

В тепловой машине превращение тепла в работу обязательно сопровождается дополнительным процессом – передачей некоторого количества тепла Q2' (см. предыдущий параграф) более холодному телу, вследствие чего получаемое от более нагретого тела количество тепла Q1 не может быть превращено полностью в работу.

Легко убедиться в том, что утверждение, содержащееся во второй формулировке, логически вытекает из утверждения, заключенного в первой формулировке. В самом деле, работа может быть полностью превращена в тепло, например, при посредстве трения. Поэтому, превратив с помощью процесса, запрещенного второй формулировкой, тепло, отнятое от какого-нибудь тела, полностью в работу, а затем превратив эту работу при посредстве трения в тепло, сообщаемое другому телу с более высокой температурой, мы осуществили бы процесс, невозможный согласно первой формулировке.

Используя процессы, запрещаемые вторым началом термодинамики, можно было бы создать двигатель, совершающий работу за счет тепла, получаемого от такого, например, практически неисчерпаемого источника энергии, как океан. Практически такой двигатель был бы равнозначен вечному двигателю. Поэтому второе начало иногда формулируется следующим образом; невозможен перпетуум мобиле второго рода, т. е. такой периодически действующий двигатель, который получал бы тепло от одного резервуара и превращал это тепло полностью в работу.

§127. Цикл Карно

Предположим, что какое-то тело может вступать в теплообмен с двумя тепловыми резервуарами, имеющими температуры Т1 и Т2 и обладающими бесконечно большой теплоемкостью. Это означает, что получение или отдача этими резервуарами конечного количества тепла не изменяет их температуры. Выясним, какой обратимый цикл может совершать тело в этих условиях.

Рассматриваемый цикл, очевидно, может состоять как из процессов, в ходе которых тело обменивается теплом с резервуарами, так и из процессов, не сопровождающихся теплообменом с внешней средой, т, е. адиабатических процессов.

Процесс, сопровождающийся обменом тепла с резервуарами, может быть обратимым только в том случае, если в ходе этого процесса температура тела будет равна температуре соответствующего резервуара. В самом деле, если, например, тело получает тепло от резервуара с температурой Т1, имея температуру, меньшую чем Т1, то при протекании того же процесса в обратном направлении тело сможет вернуть резервуару полученное от него тепло в том случае, если его температура во всяком случае не ниже, чем Т1. Следовательно, при прямом и обратном ходе процесса температура тела будет различна, тело проходит в обоих случаях через различные последовательности состояний (характеризующиеся неодинаковыми температурами) и рассматриваемый процесс будет необратимым.

Таким образом, процесс, сопровождающийся теплообменом, может быть обратимым только в том случае, если, получая тепло и возвращая его при обратном ходе резервуару, тело имеет одну и, ту же температуру, равную температуре резервуара. Строго говоря, при получении тепла температура тела должна быть на бесконечно малую величину меньше температуры резервуара (иначе тепло не потечет от резервуара к телу), а при отдаче тепла температура тела должна быть на бесконечно малую величину выше температуры резервуара.

316

Следовательно, единственным обратимым процессом, сопровождающимся теплообменом с резервуаром, температура которого остается неизменной, является изотермический процесс, протекающий при температуре резервуара.

Итак, мы пришли к выводу, что обратимый цикл, совершаемый телом (или системой), вступающим в теплообмен с двумя тепловыми резервуарами бесконечно большой емкости, может состоять только из двух изотерм (при температурах резервуаров) и двух адиабат. Такой цикл был впервые введен в рассмотрение французским инженером Сади Карно и носит название цикла Карно. Отметим, что цикл Карно по определению обратимый.

Рассмотрим, как может быть осуществлен цикл Карно, например, с газом в качестве рабочего вещества. Поместим газ в цилиндр, закрытый плотно пригнанным поршнем. Стенки цилиндра и поршень сделаем из проводящего тепло материала, дно цилиндра, напротив, изготовим из хорошо проводящего тепло вещества. Теплоемкость цилиндра и поршня будем считать пренебрежимо малой.

Пусть первоначально поршень занимает положение, отвечающее объему V1 и температуре газа T1. Поставим цилиндр на резервуар, имеющий температуру Т1 и предоставим газу возможность очень медленно расширяться до объема V2. При этом газ получит от резервуара тепло Q1 (рис. 288).

Рис. 288.

Затем снимем цилиндр с резервуара, закроем дно теплоизолирующей крышкой и позволим газу расширяться адиабатически до тех пор, пока его температура не упадет до значения Т2. Объем газа в результате станет равен V3. Теперь, убрав теплоизолирующую крышку, поставим цилиндр на резервуар с температурой Т2 и сожмем газ изотермически до такого объема V4, чтобы при последующем адиабатическом сжатии при достижении температуры Т1 объем получил значение V1 (иначе цикл не замкнется).Наконец, снимем цилиндр с резервуара, закроем дно теплоизолирующей крышкой и, сжимая газ адиабатически,

317

Рис. 289.

приведем его в первоначальное состояние (с температурой T1 и объемом V1).

Если газ идеальный, соответствующий цикл на диаграмме (p, V) выглядит так, как показано на рис. 289 (см. также рис. 293).

§128. Коэффициент полезного действия обратимых и необратимых машин

Основываясь на втором начале термодинамики, можно доказать, что к.п.д, всех обратимых машин, работающих с одним и тем же нагревателем и холодильником, имеет одинаковое значение.

Доказательство будем вести от противного. Возьмем две произвольные обратимые тепловые машины М и N (рис, 290) и предположим, что к.п. д. одной из машин, например М, больше, чем другой. Как мы увидим, это предположение приведет нас к противоречию со вторым началом термодинамики и, следовательно, должно быть отвергнуто.

Рис. 290.

Для простоты рассуждений допустим, что обе машины отбирают за цикл от нагревателя одинаковое количество тепла1, которое мы обозначим для краткости Q1:

Q1M = Q1N = Q1.

1 Это допущение не обязательно. Если Q1M ≠ Q1N, нужно сопоставить m циклов машины M и n циклов машины N, взяв m и n такими, чтобы mQ1M = nQ1N.

318

По предположению ηM > ηN ,

т. е.

Q

− Q′

>

Q

− Q′

,

1

2M

1

2N

Q1

Q1

где Q′

и Q′

— количества тепла, отдаваемые за цикл холодильнику машинами М и N.

2M

2N

Очевидно, что при высказанном предположении машина М должна совершать за цикл

больше работы, чем машина N, причем

A

M

− A

N

= (Q − Q′ ) − (Q

− Q′

)

= Q′

− Q′ .

(128.1)

1

2M

1

2N

2N

2M

Пустим машину N в обратную сторону, заставив ее работать в режиме холодильной машины. При этом, поскольку машина обратима, она будет отбирать от холодильника за цикл

то же количество тепла Q′ , которое отдавала при прямом ходе, и отдавать нагревателю

2N

количество тепла Q1. Кроме того, над машиной необходимо совершать за цикл работу AN. Для совершения этой работы можно использовать машину M, сочленив машины таким образом, чтобы машина М приводила в действие машину N. Сочлененные так машины будут представлять собой некоторую обратимую тепловую машину.

Рассмотрим баланс составной машины за один цикл. От нагревателя машина М отберет тепло Q1; то же количество тепла возвратит ему машина N. Следовательно, в результате совершения цикла составная машина не получит и не отдаст тепло нагревателю. От

холодильника за цикл будет отнято тепло Q = Q′	− Q′ .
2N	2M

Часть работы АM, совершаемой машиной М, будет использована на приведение в действие машины N. Остаток же работы, равный A=АМ-AN, может быть использован по нашему усмотрению. В соответствии с (128.1) эта работа равна теплу Q, получаемому сочлененной машиной от холодильника.

Следовательно, сочленив указанным образом обе машины, нам удалось бы осуществить такой процесс, единственным результатом которого было бы получение некоторого количества тепла Q от одного тела (холодильника) и превращение этого тепла полностью в работу, что, как утверждает второе начало термодинамики, невозможно. Таким образом, предположение о том, что ηM>ηN, должно быть отброшено.

Аналогично приводит к противоречию со вторым началом термодинамики предположение, что ηM<ηN. Для того чтобы в этом убедиться, нужно повторить изложенные выше рассуждения, заставив работать в обратном направлении машину М. Таким образом, к.п.д. обеих обратимых машин М и N должен быть одинаков. Поскольку мы не делали о машинах М и N никаких предположений, кроме того, что они обратимы, полученный результат справедлив для всех обратимых машин, независимо от их конструкции и свойств рабочего вещества.

Итак, мы пришли к выводу, что к.п.д. всех обратимых машин, работающих с одним и тем же нагревателем и холодильником, должен быть одинаков. Следовательно, к.п. д. обратимой машины может зависеть только от температуры нагревателя и холодильника.

Теперь сопоставим к.п.д. обратимой O и необратимой H машин (рис. 291).

319

Рис. 291.

Предположим, что к.п.д. необратимой машины больше, чем обратимой. Пусть обе машины отбирают от нагревателя за цикл одинаковое количество тепла Q1(Q1O=Q1H=Q1). Пустив обратимую машину в обратную сторону и заставив при этом необратимую машину приводить в действие обратимую, можно, проведя точно такие рассуждения, как и в случае двух обратимых машин, показать, что предположение ηH>ηO приводит к противоречию со вторым началом термодинамики.

Доказать подобным же образом, что η необратимой машины не может быть меньше η обратимой машины, не представляется возможным, ибо, проводя рассуждения, нам пришлось бы пустить в обратную сторону необратимую машину. Хотя это и возможно, но нет оснований считать, что работа, совершаемая при обратном ходе необратимой машиной, и количества тепла, которыми она обменивается с нагревателем и холодильником, будут отличаться от работы и количеств тепла при прямом ходе только знаком.

Таким образом, проведенные нами рассуждения приводят к необходимости отвергнуть предположение о том, что ηH>ηO, но не исключают возможности ηH<ηO. Вместе с тем ряд физических соображений указывает на то, что к.п.д. необратимой машины всегда меньше, чем обратимой, работающей в тех же условиях. С некоторыми из этих соображений мы познакомимся.

Сопоставим обратимый и необратимый циклы расширения и сжатия газа. Для того чтобы цикл был обратимым, он должен совершаться очень медленно, вследствие чего давление газа будет успевать выравниваться по всему объему. Полная работа за цикл складывается из положительной работы при расширении A1 и отрицательной работы при сжатии A-. Результирующая работа будет равна А=A+—А- (предполагается, что при расширении газ получает, а при сжатии отдает тепло).

Если провести цикл необратимо, т. е. достаточно быстро, то давление не успевает выравниваться и при расширении давление газа под поршнем будет меньше, чем то, которое было при аналогичном положении поршня во время обратимого цикла, а при сжатии, наоборот, несколько больше (рис. 292).

Рис. 292.

В результате положительное слагаемое A'+ будет меньше A+, а отрицательное A'- больше A-,

так что полная работа A′ = A′	− A′	будет меньше, чем при обратимом цикле. Соответственно и
+	−

к.п.д. необратимого цикла будет меньше, чем обратимого.

Трение всегда связано с превращением работы в теплоту, т. е. является типичным необратимым процессом. Поэтому у обратимой машины трения не должно быть. Пусть какаято обратимая машина получает за цикл тепло Q1 и совершает работу А. Нарушим обратимость машины, допустив трение, например, между цилиндром и поршнем. Из-за трения часть работы A превратится в тепло, которое либо перейдет к холодильнику, либо рассеется в окружающую

320