Рис. 154.

Все сказанное в этом параграфе относится не только к жидкостям, но и к газам.

Единицей вязкости в СИ является такая вязкость, при которой градиент скорости, равный 1 м/сек на 1 м, приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 н на 1 м2 поверхности касания слоев. Эта единица обозначается н*сек/м2.

В СГС —системе единицей вязкости служит пуаз (пз), равный такой вязкости, при которой градиент скорости в 1 см/cек на 1 см приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 дин на 1 см2 поверхности касания

слоев. Единица, равная 10−6 пуаза, называется микропуазом (мкпз). Между пуазом и единицей вязкости в СИ имеется соотношение

1í • ñåê / ì 2 = 10ï ç

Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем характер этой зависимости существенно различен для жидкостей и газов. У жидкостей коэффициент вязкости сильно уменьшается с повышением температуры. У газов, напротив, коэффициент вязкости с

температурой растет. Отличие в характере поведения η при изменениях температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах.

§59. Ламинарное и турбулентное течение

Наблюдается два вида течения жидкости (или газа). В одних случаях жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называется ламинарным1 (слоистым). Если в ламинарный поток ввести подкрашенную струйку, то она сохраняется, не размываясь, на всей длине потока, так как частицы жидкости в ламинарном потоке не переходят из одного слоя в другой. Ламинарное течение стационарно.

При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер течения существенным образом изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости. Такое течение называется турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом данном месте все время изменяется беспорядочным образом — течение нестационарно. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распределяется по всему сечению потока.

Показанный на рис. 154 характер изменения скорости течения с расстоянием от оси трубы относится к случаю ламинарного течения. При турбулентном течении можно говорить о среднем (по времени) значении скорости и каждой точке сечения трубы. «Профиль» средних скоростей при турбулентном течении изображен на рис. 155. Вблизи стенок трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении, но в остальной части сечения скорость изменяется меньше.

1 Латинское lamina означает пластинку, полоску.

157

Рис. 155.

Английский ученый Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины:

	Re =	ρυl	(59.1)
		η

где ρ — плотность жидкости (или газа), υ — средняя (по сечению трубы) скорость потока, η — коэффициент вязкости жидкости, l — характерный для поперечного сечения размер,

например, сторона квадрата при квадратном сечении, радиус или диаметр при круглом сечении и т. д.1.

Величина (59.1) называется числом Рейнольдсa. При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характерного размера для круглой трубы взять ее радиус r то критическое значение числа Рейнольдса (которое в этом случае имеет вид Re=pvr/η) оказывается равным2 примерно 1000. В число Рейнольдса входят в виде отношения две величины, зависящие от свойств жидкости, — плотность ρ и коэффициент вязкости η. Отношение

ν =	η	(59.2)
	ρ

называется кинематической вязкостью. В отличие от v величина η называется динамической вязкостью. Используя кинематическую вязкость, числу Рейнольдса можно придать следующий вид;

Re =	ν l		(59.3)
		ρ

Число Рейнольдса может служить критерием подобия для течения жидкостей в трубах, каналах и т.д. Характер течения различных жидкостей (или газов) в трубах разных сечений будет совершенно одинаков, если каждому течению соответствует одно и то же значение Re.

§60. Движение тел в жидкостях и газах

При движении тела в жидкости или газе3 на него действуют силы, равнодействующую которых мы обозначим буквой R (рис. 156).

1Рекомендуется читателю убедиться в том, что выражение (59.1 является безразмерным

2Очевидно, что, взяв вкачестве l нерадиус, адиаметр трубы, мы должны увеличить критическое значение Re в 2

раза.

3Заметим, что при постоянной скорости движения тела Относительно жидкости сила, действующая не тело, будет в соответствии с принципом относительности Галилея такая же, как и в случаедвиженияЖИДКОСТИСТОЙже, скоростьюотносительнонеподвижноготела. Рис. 156 соответствует последнемуслучаю.

158

Рис.156.

Силу R можно разложить на две составляющие, одна из которых Q направо лена в сторону, противоположную движению тела (или в сторону движения потока, набегающего на тело), а вторая Р перпендикулярна к этому направлению. Составляющие Q и Р называются соответственно лобовым сопротивлением и подъемной силой. Очевидно, что на тело, симметричное относительно направления движения, может действовать только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае будет равна нулю.

Как показывают расчеты, в идеальной жидкости равномерное движение тел должно было бы происходить без лобового сопротивления. Не обладая вязкостью, идеальная жидкость должна свободно скользить по поверхности тела, полностью обтекая его. На рис. 157 показаны линии тока при обтекании очень длинного («бесконечного») цилиндра идеальной жидкостью.

Рис. 157.

Вследствие полного обтекания картина линий тока оказывается совершенно симметричной как относительно прямой, проходящей через точки A и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D. Поэтому давление вблизи точек А и B будет одинаково (и больше, чем в невозмущенном потоке, так как скорость вблизи этих точек меньше); точно так же давление вблизи точек С и D тоже будет одинаково (и меньше, чем в невозмущенном потоке, так как скорость вблизи этих точек больше). Следовательно, результирующая сил давления на поверхность цилиндра (которая при отсутствии вязкости могла бы обусловить лобовое сопротивление), очевидно, будет равна нулю. Такой же результат получается и для тел другой формы.

Иначе протекают явления при движении тела в жидкости, обладающей вязкостью. В этом случае очень тонкий слой жидкости прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за трения последующие слои. По мере удаления от поверхности тела скорость слоев становится все меньше и, наконец, на некотором расстоянии от поверхности жидкость оказывается практически невозмущенной движением тела. Таким образом, тело оказывается окруженным слоем жидкости, в котором имеется градиент скорости. Этот слой

159

называется пограничным, В нем действуют силы трения, которые в конечном итоге оказываются приложенными к телу и приводят к возникновению лобового сопротивления. Но дело не исчерпывается только этим. Наличие пограничного слоя в корне изменяет характер обтекания тела жидкостью. Полное обтекание становится невозможным. Действие сил трения в поверхностном слое приводят к тому, что поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри (см. рис. 158, на котором показано обтекание цилиндра вязкой жидкостью).

Рис. 158.

Вихри у косятся потоком и постепенно затухают вследствие трения; при этом энергия вихрей расходуется на нагревание жидкости. Давление в образующейся за телом вихревой области оказывается пониженным, поэтому результирующая сил давления будет отлична от нуля, в свою очередь обусловливая лобовое сопротивление.

Таким образом, лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. При данных поперечных размерах тела сопротивление давления сильно зависит от формы тела. По этой причине его называют также сопротивлением формы. Наименьшим сопротивлением давления обладают тела хорошо обтекаемой каплевидной формы (рис 159). Такую форму стремятся придать фюзеляжу и крыльям самолетов; кузову автомобилей и т. п.

Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением плавления определяется значением числа

Рейнольдса (59.3). В данном случае l — некоторый характерный размер тела (например, радиус для тела шаровой формы), v — скорость тела относительно жидкости.

При малых Re основную роль играет сопротивление трения, так что сопротивление давления можно не принимать во внимание. При увеличении Re роль сопротивления давления все больше растет. При больших значениях Re в лобовом сопротивлении преобладают силы давления.

Рис. 159.

Определяя характер сил, действующих на тело в потоке, число Рейнольдса может служить критерием подобия явлений и и этом случае. Это обстоятельство используется при моделировании. Например, модель самолета будет вести себя в потоке газа таким же образом, как и ее прообраз» если кроме геометрического подобия людели и самолета будет соблюдено также равенство для них чисел Рейнольдса.

160

Закон Стокса. При малых Re, т. е. при небольших скоростях движения [и небольших l; см. (59,3)], сопротивление среды обусловлено практически только силами трения. Согласно закону, установленному Стоксом, сила сопротивления в этом случае пропорциональна коэффициенту динамической вязкости η, скорости v движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела l: f~η\tv (предполагается, что расстояние от тела до границ жидкости, например до cтенок сосуда, значительно больше размеров тела). Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Для шара, если в качестве l взять радиус шара r, коэффициент пропорциональности оказывается равным 6π. Следовательно, сила сопротивления Движению шарика в жидкостях при небольших скоростях в соответствии с законом Стокса равна

f = 6πηrυ.

(60.1)

На небольшой шарик, падающий вертикально в жидкости или газе будут действовать три силы: 1) сила сила тяжести 43 π r3ρ g (r—радиус шарика, ρ 43 π r3ρ0 g — его плотность),

направленная вниз, 2) выталкивающая сила 43 π r3ρ0 g (ρ0—плотность жидкости или газа),

направленная вверх, и 3) сила сопротивления 6πηrυ, направленная в сторону, противоположную направлению движения, т. е. вверх.

Рис. 160.

Первые две силы по величине постоянны, третья пропорциональна скорости v. Поэтому по достижении некоторой определенной скорости υ0 выталкивающая сила и сила сопротивления в сумме уравновешивают силу тяжести, вследствие чего шарик начинает двигаться без ускорения, т. е. равномерно. Скорость υ0 равномерного движения легко найти из следующего условия:

43 π r2 ρ g = 43 π r3ρ0 g + 6πηrυ0 .

Решая это уравнение относительно υ0, получим:

υ0 =	2	(ρ − ρ0 ) gr2	.	(60.2)
		9η

Рис. 161.

161

Как видно из (60.2), скорость равномерного падения шарика в вязкой среде пропорциональна квадрату его радиуса. По причинам, выясненным выше, формула (60.2) годна только для малых шариков.

Измерив скорость установившегося (равномерного) падения маленьких шариков в жидкости, можно по формуле (60.2) найти вязкость жидкости η. Этим методом определения вязкости иногда пользуются на практике.

Подъемная сила. Для возникновения подъемной силы вязкость жидкости не имеет существенного значения, На рис. 160 показаны линии тока при обтекании идеальной жидкостью полуцилиндра. Вследствие полного обтекания линии тока будут симметричны относительно прямой CD . Однако относительно прямой AB картина будет

несимметричной. Линии тока сгущаются вблизи точки поэтому давление здесь будет меньше, чем вблизи точки D, и возникает подъемная сила Р. Аналогичным образом возникает подъемная сила и в вязкой жидкость.

Силой, поддерживающей самолет в воздухе, служит подъемная сила, действующая на его крылья. Лобовое сопротивление играет при полете самолета вредную роль. Поэтому крыльям самолета и его фюзеляжу придают хорошо обтекаемую форму. Профиль крыла должен вместе с тем обеспечивать достаточную по величине подъемную силу. Оптимальным для крыла является показанный на рис. 161 профиль, найденный великим русским ученым Н. Е. Жуковским (1847—1921). Труда Жуковского и его ученика С. А. Чаплыгина было положено начало современной аэродинамике. В. И. Лен назвал Жуковского отцом русской авиации. Жуковский в частности, вывел формулу для определения подъема силы, являющуюся основой всех аэродинамических расчетов самолетов.

162