можно найти распределение молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения. Для этого нужно перейти от переменной v к переменной ε, равной mv2/2. Произведя

в (106.14) подстановку v =	2в	и dv =	1		dε , получим
	m		2mε
				2		1		e−	ε		(106.15
		dNε	= N						rT	ε d
				π		(rT )3
							2				)

где dNε означает число молекул, энергия которых имеет значения, заключенные в пределах от ε до ε + dε .

Таким образом, распределение молекул по значениям ε								характеризуется функцией
f (ε ) = Λ'e		−		ε		ε		(106.16
			rT					)
где А’ — нормировочный множитель, равный	2					1	.
	π
					(rT )32

В заключение произведем оценку средней скорости молекул, например, кислорода. Вычисления удобнее производить, заменив в (106.12) отношение r/m равным ему отношением R/μ. Тогда выражение для средней скорости примет вид

	v =	8RT	(106.17
		πμ	)

Молекулярный вес кислорода равен 32. Следовательно, масса киломоля μ=32 кг/кмоль. Комнатная температура равна примерно 300°К. Подставляя в формулу (106.17) численные

	значения входящих в нее величин, получаем:
	v =	8 8.31 103		300	≈ 500 м/сек.
		3.14	32

Таким образом, каждая молекула кислорода проходит за секунду путь равный в среднем 0,5 км. Поскольку молекула претерпевает очень частые соударения с другими молекулами, этот путь состоит из большого числа коротких прямолинейных отрезков, образующих ломаную линию.

Молекулы водорода имеют массу, в 16 раз меньшую, чем молекулы кислорода, вследствие чего их скорость при той же температуре будет в 4 раза больше и составит при комнатной температуре я среднем почти 2 км/сек.

§107. Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла

Первое экспериментальное определение скоростей молекул было осуществлено Штерном в 1920 г. Прибор, использованным для этой цели, состоял из двух коаксиальных цилиндров (рис. 242). По оси прибора была натянута платиновая нить, покрытая серебром. При нагревании нити электрическим током с ее поверхности испарялись атомы серебра. Скорости испарившихся атомов соответствовали температуре нити. Покинув нить, атомы двигались по радиальным направлениям. Внутренний цилиндр имел узкую продольную щель, через которую проходил наружу узкий пучок атомов (молекулярный пучок). Чтобы атомы серебра не отклонялись за счет соударений с молекулами воздуха весь прибор был эвакуирован. Достигнув поверхности внешнего цилиндра, атомы серебра оседали на нее, образуя слой в виде узкой вертикальной полоски.

Если привести весь прибор во вращение» след, оставляемый молекулярным пучком,

268

Рис. 212

сместится по поверхности внешнего цилиндра на некоторую величину ∆s (рис. 242). Это произойдет потому, что за время, пока атомы серебра пролетают зазор между цилиндрами, прибор успевает повернуться на некоторый угол ∆φ в результате против пучка окажется другой участок наружного цилиндра, смещенный относительно первоначального следа so на величину ∆s, равную R∆φ (R — радиус внешнего цилиндра). Рассматривая движение атомов серебра в связанной с цилиндрами вращающейся системе отсчета, смещение следа можно объяснить действием на атомы кориолисовой силы, равной 2m[vω]

Расстояние ∆s между первоначальной и смещенной полосками серебра можно связать с угловой скоростью вращения цилиндров ω геометрией прибора и скоростью атомов v. Обозначив время пролета через ∆t можно написать, что

s = ωR t

(107.1)

Поскольку радиус внутреннего цилиндра мал по сравнению с радиусом внешнего цилиндра

R, время пролета ∆t можно положить равным t =	R	.
	v

Подставляя это выражение в (107.1) и разрешив получившееся уравнение относительно v, получим:

v = ωR2 . s

Измерив смещение следа ∆s и скорость вращения прибора можно определить скорость атомов v. Положение, правда, осложняется тем, что вследствие распределения по скоростям атомы имеют различные скорости и в результате смещенный слой будет размытым1. Исследуя

1 Ширина слоя, получающегося при неподвижном приборе, определяется только геометрией прибора, в частности шириной щели, через которую выходит молекулярный пучок.

269

профиль следа (рис. 242), можно было составить примерное представление о распределении атомов серебра по скоростям.

Рис. 243

Результаты опыта Штерна подтвердили правильность оценки средней скорости атомов, которая вытекает из распределения Максвелла. О характере самого распределения этот опыт мог дать лишь весьма приближенные сведения.

Более точно закон распределения был проверен в опыте Ламмерта (1929 г.), в котором молекулярный пучок пропускался через два вращающихся диска с радиальными щелями, смещенными друг относительно друга на некоторый угол φ (рис. 243). Из числа молекул, пролетевших через щель в первом диске, пролетят через второй диск только те, которые подлетят к нему в тот момент, когда на пути пучка встанет прорезь во втором диске. Более быстрые молекулы достигнут второго диска слишком рано, а более медленные — слишком поздно для того, чтобы пройти через щель. Таким образом, это устройство позволяет выделить из пучка молекулы, обладающие определенным значением скорости (из-за конечной ширины щелей прибор выделяет молекулы, скорости которых лежат в пределах некоторого интервала ∆v). Средняя скорость выделяемых прибором молекул может быть найдена из условия, что

время t1 за которое молекулы пролетают расстояние l между дисками ( t1 = l v ), должно

совпадать со временем t2 за которое диски повернутся на угол φ ( t2 = ϕ ω ). Приравняв оба

времени, получим:

v = ωϕl

Меняя скорость вращения прибора ω (или угол между дисками φ), можно выделять из пучка молекулы, обладающие различными значениями скорости. Улавливая затем эти молекулы в течение определенного времени, можно определить их относительное количество в пучке.

Результаты опыта Ламмерта и других опытов, предпринимавшихся с той же целью, находятся в полном согласии с законом распределения, установленным теоретически Максвеллом.

Следует отметить, что распределение молекул по скоростям в пучке, вышедшем через отверстие в сосуде несколько отличается от распределения, имеющегося в замкнутом сосуде. Так как более быстрые молекулы будут проходить через отверстие в относительно большем количестве, чем более медленные, пучок будет обогащен более быстрыми молекулами. Поскольку количество молекул, пролетающих через отверстие в единицу времени, пропорционально v, распределение в пучке будет характеризоваться не функцией (106.6), а функцией

− mv2

f1 (v) = A1e 2rT v3 ,

где А1 — нормировочный множитель.

270

Наиболее вероятная скорость в этом случае равна v'вер =		3rT	, а средняя скорость
		m
v'=	9πrT .
	Rm

§108. Барометрическая формула

Атмосферное давление на какой-либо высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Обозначим буквой р давление на высоте h. Тогда давление yа высоте h+dh будет р+dp, причем если dh больше нуля, то dp будет меньше нуля, так как вес вышележащих слоев атмосферы, а следовательно, и давление с высотой убывают. Разность давлений р и р+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра с площадью основания, равной единице, и высоток dh (рис. 244):

Рис. 244 dp = − pgdh

где р — плотность газа на высоте h. Отсюда

p − (p + dp) = pgdh

(108.1)

Воспользовавшись уравнением состояния, плотность газа можно выразить через давление и температуру. Как уже отмечалось при условиях близких к нормальным, газы, входящие в состав атмосферы, мало отличаются по своему поведению от идеального. Поэтому будем исходить из уравнения (98.14). Решив это уравнение относительно m/V, найдем плотность р:

p = m = pμ V RT

Подставив выражение для р в (108.1), получим:

dp = − pRTμg dh ,

Откуда

dpp = − RTμg dh

Температура Т является некоторой функцией от h. Если вид этой функции известен, уравнение (108.3) можно проинтегрировать и получить р как функцию h.

Для случая, когда температура постоянна, интегрирование (108.3) дает ln p = − μRTgh + ln C ,

где С — постоянная (здесь удобно обозначить постоянную интегрирования через ln С). Потенцируя полученное выражение, находим что

(108.2)

(108.3)

271