§100. Строгий учет распределения скоростей молекул по направлениям

В этом параграфе мы произведем точный подсчет числа ударов молекул о стенку, не прибегая к упрощенному представлению о движении только вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. Кроме того, мы покажем, что указанное упрощение не отражается на полученном нами в предыдущем параграфе выражении (99.4) для давления.

Любое направление в пространстве можно задать в виде отложенного из некоторой точки O направленного отрезка ОА (рис. 223).

Рис. 223.

Проведем через точку О ось Z и проходящую через эту ось плоскость P0 .Проходящая через ось 0Z плоскость Р, в которой лежит направление ОА, образует с выбранной за начало отсчета

плоскостью Р0 угол ϕ . Направление ОА образует с осью OZ угол ϑ . Очевидно, что задание углов ϑ и ϕ полностью определяет направление ОА. Для различных направлений угол ϕ

изменяется в пределах от 0 до 2π , угол ϑ — от 0 до π .

Таким образом, направление движения молекул газа можно охарактеризовать, задав для

каждой молекулы значения углов ϑ и ϕ , отсчитываемых от некоторого фиксированного направления OZ (в качестве такого направления можно взять, например, направление нормали к площадке) и проведенной через него плоскости Ро,

Однако можно применить иной, более наглядный способ. Окружим точку О сферой произвольного радиуса R (рис 224). Любая точка А на этой сфере будет определять некоторое направление от О к А. Следовательно, направления, в которых движутся молекулы газа, могут быть заданы точками на сфере.

Равновероятность всех направлений приводит к тому, что точки, изображающие

направления движения молекул, распределяются по сфере с постоянной плотностью ρ , равной числу рассматриваемых молекул N, деленному на поверхность сферы:

	ρ =	N	.	(100.1)
		4π R2

Соударения приводят к изменению направлений движения молекул, в результате чего положения N точек на сфере непрерывно меняются.

Однако вследствие хаотичности движения плотность точек остается все время постоянной.

243

Число возможных направлений в пространстве, как легко видеть, бесконечно велико. Реализуется же в каждый момент времени конечное число направлении, равное рассматриваемому количеству молекул N.

Рис. 224.

Отсюда следует, что постановка вопроса о числе молекул, имеющих за данное

(изображаемое точкой А на сфере или определяемое значениями углов ϑ и ϕ ) направление движения, лишена смысла. В самом деле, поскольку число возможных направлений бесконечно велико, а число молекул конечно, вероятность того, что в строго определенном направлении летит хотя бы одна молекула, равна нулю.

Правомерной будет постановка вопроса о том, какое количество молекул движется в

направлениях, близких к данному (определяемому углами ϑ и ϕ ). Таким на правлениям соответствуют все точки элемента поверхности сферы F взятого в окрестности точки А (рис. 224). Поскольку точки, изображающие направления движения молекул, распределены по сфере равномерно, в пределах F окажется количество точек, равное

	N		= ρ F = N	F	.	(10.2)
		ϑ ,ϕ		4π R2

Индексы ϑ , ϕ при N указывают на то, что имеются в виду молекулы, направления движения которых близки направлению, определяемому углами ϑ и ϕ . Введя телесным угол

ΔΩ = F/R2, в пределах которого заключены направления, проходящие через		F, формулу
(100.2) можно записать следующим образом:
Nϑ ,ϕ = N	ΔΩ .	(10.3)
	4π

Условия соударения молекул со стенкой (в частности, импульс, сообщаемый стенке при ударе) зависят только от угла ϑ между направлением движения молекул и нормалью к элементу стенки S и не зависят от угла ϕ .

244

Рис.225.

Найдем, какое количество молекул dn0 из n молекул, находящихся в единице объема, имеют

направления, образующие с нормалью углы, заключенные в пределах от ϑ до ϑ +dϑ . Для этого согласно (100.2) нужно найти элемент поверхности сферы dF, соответствующий таким

значениям ϑ . Этот элемент поверхности, как видно из рис. 225, представляет собой шаровой пояс с длиной основания, равной 2π R sinϑ , и шириной Rdϑ . Поверхность такого пояса равна

dF = 2π R sinϑ Rdϑ = 2π R2 sinϑdϑ.
ϑ
Следовательно, в соответствии с (100.2) получаем;
dn	= n 2π R2 sinϑdϑ =	1 n sinϑdϑ.	(10.4)
ϑ	4π R2	2

Множитель ½sinϑ характеризует распределение молекул по значениям угла ϑ . Если сравнивать количества молекул dnϑ , приходящиеся на один и тот же интервал углов dϑ , но

отличающиеся значением ϑ , то такие dnϑ изменяются как sinϑ .

Теперь найдем число ударов молекул о площадку S за время t. Из числа молекул,

направления движения	которых образуют с нормалью к S углы в пределах: от -ϑ до ϑ +d ϑ
до S долетят за время	t все dN молекул, находящиеся в объеме V показанного на рис. 226

наклонного цилиндра1; объем V равен

V = Sv t cosϑ,

где v—скорость, предполагаемая одинаковой для всех молекул.

1 Все направления с данным ϑ мы мысленно сводим в одну плоскость, отвечающую произвольному значению угла ϕ .

245

Рис. 226.

Число интересующих нас молекул, содержащихся в единице объема, определяется формулой (100.4). По этому

	dNϑ = dnϑ V =			1	n sinϑdϑ Sv t cosϑ.					(100.5)
				2
	Проинтегрировав это выражение по ϑ в пределах от 0 до π /21, получим полное число
	ударов о площадку S за время t:
					π
	N = ∫dNϑ	= 1 nv S		t ∫2 sinϑ cosϑdϑ = 1 nv S						t.
		2		0			4
	Отсюда для числа ударов об единичную площадку в единицу времени получим следующее
	выражение;
			N				=	1	nv,	(100.6)
			S		t
							4

которое отличается от полученного нами в предыдущем параграфе выражения (99.3) только числовым множителем, равным 3/2. Перейдем к вычислению давления газа на стенку. Каждая

молекула, ударяющаяся о стенку под углом ϑ , сообщает ей направленный по нормали

	импульс, равный 2mv cosϑ (рис. 227). За время				t об элемент стенки S ударяется под углом
	ϑ количество молекул dNϑ , определяемое формулой (100.5). Следовательно, импульс,
	сообщаемый S этими молекулами, равен
		dKϑ = 2mv cosϑdNϑ = nmv2 S t cos2 ϑ sinϑdϑ.
		Полный импульс К, сообщаемый S молекулами всех направлений, получим путем
	интегрирования:
				π
		K = ∫dKϑ = nmv2 S		t ∫2 cos2 ϑ sinϑdϑ =		1	nmv2 S	t.
				0	3
		Отсюда давление
			p =	K	= 1 nmv2 .			(100.7)
				S t
					3
		1 Значениям ϑ от π /2 до π соответствуют молекулы, летящие в направлениях от						S
					246