α ≈ 0.0018sin 2ϕ.

(47.3)

Таким образом, в зависимости от широты ϕ угол α колеблется в пределах от нуля (на экваторе, где ϕ =0, и на полюсах, где ϕ =90°) до 0,0018 рад или 6' (на широте 45°).

Направление Р совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса. Сила fg направлена к центру Земли. Следовательно, нить отвеса направлена к центру Земли только на полюсах и на экваторе, отклоняясь на промежуточных широтах на угол, определяемый выражением (47.3).

Разность fg - Р равна нулю на полюсах и достигает максимума» равного 0,3% силы fg, на экваторе. Из-за сплюснутости земного шара у полюсов сила fg сама по себе несколько варьирует с широтой, будучи на экваторе примерно на 0,2% меньше, чем у полюсов, В итоге ускорение свободного падения g меняется с широтой в пределах от 9,780 м/сек2 на Экваторе до 9,832 м/сек2 на полюсах. Значение g=9,80665 м/сек2 принято в качестве нормального (стандартного) значения.

Заметим, что относительно инерциальной, например, гелиоцентрической системы отсчета свободно падающее тело будет двигаться с ускорением не g, а w, направленным так же, как fg, и равным по величине fg/m. Легко видеть (см. рис. 131), что из равенства для разных тел ускорения g вытекает и равенство ускорений w. Действительно, треугольники, построенные на векторах fg и Р для разных тел, подобны (углы α и ϕ для всех тел, находящихся в данной точке

земной поверхности, будут одинаковыми). Следовательно, отношение fg /P, которое совпадает с отношением w/g, для всех тел одно и то же, откуда вытекает, что при одинаковых g получаются одинаковыми и w.

§48. Масса инертная и масса гравитационная

Масса фигурирует в двух различных законах: во втором законе Ньютона и в законе всемирного тяготения. В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором – гравитационные свойства, т.е. способность тел притягивать друг друга. В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу min и массу гравитационную (или тяготеющую) mg.

Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Рассмотрим в гелиоцентрической системе отсчета свободное падение тел. Всякое тело вблизи поверхности Земли испытывает силу притяжения к Земле, которая согласно (46.5) равна

f = γ mg M3

R32

(mg —гравитационная масса данного тела, М3—гравитационная масса Земли, R3 — радиус земного шара).

Под действием этой силы тело приобретает ускорение w (но не g; см, предыдущий параграф), которое должно быть равно силе f, деленной на инертную массу тела min:

w =	f	= γ	M3		mg	.	(48.1)
	m		R2		m
	in		3		in

Опыт показывает, что ускорение w для всех тел одинаково (из одинаковости g вытекает, как

мы видели ранее, одинаковость w). Множитель γ M3 также одинаков для всех тел.

R32

Следовательно, и отношение mg / min оказывается для всех тел одним и тем же. К такому же

результату приводят и все другие опыты, в которых могло бы проявиться различие между инертной и гравитационной массами.

Вся совокупность опытных фактов указывает на то, что инертная и гравитационная массы всех тел строго пропорциональны друг другу. Это означает, что при надлежащем выборе единиц измерения гравитационная и инертная массы становятся тождественными, поэтому в

138

физике говорят просто о массе. Тождественность гравитационной и инертной масс положена Эйнштейном в основу общей теории относительности.

Отметим, что с самого начала массу в (46.1) мы полагали совпадающей с инертной массой тел, вследствие чего численное значение γ нами было определено в предположении; что

mg=min. Поэтому (48.1) можно записать в виде

w = γ	M з	.	(48.2)
	2
	R
	з

Последнее соотношение позволяет определить массу Земли M3. Подстановка в него измеренных значений w, R3 и у дает для массы Земли значение 5,98*1024 кг.

Далее, зная радиус земной орбиты Rор и время полного обращения Земли вокруг Солнца Т можно найти массу Солнца Мс. Ускорение Земли, равное w2 Rор ( ц = 2π / Т ), обусловливается силой притяжения Земли к Солнцу. Следовательно,

M зw2 Rор = γ M зMс ,

Rор2

откуда может быть вычислена масса Солнца.

Подобным же образом были определены массы других небесных тел.

§49. Законы Кеплера

Основанием для установления закона всемирного тяготения Ньютону послужили три открытых Кеплером закона движения планет:

1.Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2.Радиус-вектор планеты описывает за равные времена одинаковые площади.

3.Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Первый закон Кеплера указывает на то, что планеты движутся в поле центральных сил. Действительно, как мы видели в §37, траектория тела в поле центральных сил представляет собой плоскую кривую — гиперболу, параболу или эллипс, — фокус которой совпадает с центром сил.

Принимая для простоты, что орбиты являются не эллипсами, а окружностями (это допустимо, так как практически орбиты всех планет мало отличаются от окружностей), ускорение, с которым движется планета, можно написать в виде

w = v2 , r

где v - скорость движения планеты, r - радиус орбиты.

Заменим v через 2π r / T (T—период обращения планеты вокруг Солнца):

w =	4π 2r .
	T 2

На основании последнего выражения отношение сил» действующих на планеты со стороны Солнца, запишется следующим образом:

	f		=	m w		=	m rT 2			.
		1		1	1		1 1		2
	f	2		m w			m r T 2
				2	2		2	2	1

139

Рис. 132.

Заменяя в соответствии с третьим законом Кеплера отношение квадратов периодов обращения отношением кубов радиусов орбит, получим:

f1 : f2 = m1 : m2 . r12 r22

Таким образом, из третьего закона Кеплера следует, что сила, с которой планета притягивается к Солнцу, пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния до Солнца:

f = k rm2 .

Предположив, что коэффициент пропорциональности k в свою очередь пропорционален массе Солнца Мc, Ньютон пришел к уже знакомой нам формуле

f = γ mMr2 c ,

выражающей закон всемирного тяготения.

Второй закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса. Из рис.132 видно, что описанная ради усом-вектором за время dt площадь dS равна половине произведения основания треугольника v dt на высоту треугольника l, которая совпадает с плечом импульса планеты mv по отношению к Солнцу:

dS = 12 lvdt = 2Lm dt

(L — момент импульса планеты, равный mvl ).

Выражение dSdt называется секториальной скоростью. Таким образом,

секториальная скорость = dS	=	L	.
dt		2m

Момент импульса в центральном поле сил остается постоянным, следовательно, и секториальная скорость планеты должна быть постоянной. Это означает, что за равные промежутки времени радиус-вектор будет описывать одинаковые площади.

§50. Космические скорости

Для того чтобы двигаться вокруг Земли по круговой орбите с радиусом, мало отличающимся от радиуса Земли Rз, тело должно обладать вполне определенной скоростью v1 величину которой можно определить из условия равенства произведения массы тела на центростремительное ускорение силе тяжести, действующей на тело:

140

m	v2	= mg.
	1
	R
	з
Отсюда
v1 =		gR3 .	(50.1)

Следовательно, для того чтобы какое-либо тело стало спутником Земли, ему необходимо сообщить скорость v1, которая называется первой космической скоростью.

Рис. 133.

Подстановка значений g и Rз дает для первой космической скорости следующее значение:

v =	gR = 9.8 6.4 106	≈ 8 103 м/ сек = 8км/ сек.
1	3

Обладая скоростью v1, тело не упадет на Землю. Однако этой скорости не достаточно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, т.е. удалиться от Земли на такое расстояние, что притяжение к Земле перестает играть существенную роль. Необходимая для этого скорость v2 называется второй космической скоростью.

Для того чтобы найти вторую космическую скорость, нужно вычислить работу, которую необходимо совершить против сил земного тяготения для удаления тела с поверхности Земли на бесконечность. В §26 мы доказали, что работа в поле центральных сил не зависит от пути.

Вычислим работу, совершаемую при перемещении тела вдоль прямой, проходящей через центр Земли (рис. 133). Элементарная работа на пути dr будет равна

dA = fdr = γ mMr2 3 dr.

Работу на пути от r=R3 до r= ∞ находим интегрированием:

∞	mM3			mM3				mM3
A = ∫dA = ∫ γ			dr = −γ			∞	= γ		.	(50.2)
	r	2		r		R3		R3
R
3

Полагая силу тяжести равной силе притяжения к Земле, можно написать:

	mg = γ	mM3	;	γ	mM3	mgR .
		R2			R
			отсюда			3
		3			3

141