Рис.1

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения (рис. 1).

Ось вращения может находиться вне тела (рис. 2)

Рис.2

Поскольку, говоря о каком-либо теле как о материальной точке, мы отвлекаемся от его протяженности, понятие вращательного движения вокруг проходящего через него оси к такому телу неприменимо.

Механика подразделяется на три раздела: 1) кинематику, 2) статику и 3) динамику. Кинематика изучает движение тел вне зависимости от тех причин, которые обусловливают это движение, статика изучает тело равновесия тел и, наконец, динамика изучает движение тел в связи с теми-причинами (взаимодействиями между телами) , которые обусловливают тот или иной характер движения. Поскольку равновесие есть частный случай движения, законы статики оказываются естественным следствием законов динамики. По этой причине в

Глава I. Кинематика

§1. Перемещение точки. Векторы и скаляры

Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию. Эта линия называется траектория В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, кривое иней движение и т. д.

Пусть материальная точка (в дальнейшем мы для краткости будем говорить просто точка) переместилась вдоль некоторой траектории из точки 1 в точку 2 (рис. 3).

8

Рис. 3.

Расстояние от точки 1 до точки 2, отсчитанное вдоль траектории, представляет собой пройденный путь. Мы будем обозначать его буквой s.

Отрезок прямой, проведенный из точки 1 в точку 2, называется перемещением. Обозначим его r12. Перемещение характеризуется, кроме своей величины (равно длине отрезка r12), также и направлением. Действительно, рассмотрим два одинаковых по величине перемещения r12 и r13 (рис. 4). Несмотря на равенство длин этих отрезков, они явно представляют собой совершенно различные перемещения.

Величины, подобные перемещению, подчиняются правилу сложения, которое можно уяснить на следующем примере. Пусть точка совершает последовательно два перемещения: r12 и r23 (рис. 5). Суммой этих двух перемещений естественно назвать такое перемещение

r13,которое приводит к тому же результату, что и первые два перемещения вместе.

Величины такого рода, как перемещение, т. е. характеризующиеся численным значением и направлением, а также складывающиеся по правилу, показанному на рис. 5, называются векторами. К числу векторов принадлежат скорость, ускорение, сила и ряд других величин.

Величины, для задания которых достаточно одного численного значения, называются скалярами. Примерами скаляров могут служить путь, время, масса и т, д.

Рис.4

Рис.5

Векторы принято обозначать буквами жирного шрифта. Например, вектор перемещения из точки 1 в точку 2 обозначается r12. Та же буква обычного шрифта означает численное значение или, как говорят, модуль соответствующего вектора1. Для обозначения модуля пользуются также символом вектора, заключенным между двумя вертикальными черточками. Таким образом,

|A|=A=модулю вектора A, |r12|=r12=модулю вектора r12 Модуль вектора — скаляр, причем всегда положительный.

На чертежах векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков со стрелкой на конце. Длина отрезка в установленном масштабе дает модуль вектора, а указанное стрелкой направление отрезка дает направление вектора.

1 При письме векторы обозначают буквами со стрелкой над ними (например, r12 ). В этом случае та же буква без стрелки означает модуль вектора.

9

Показанная на рис. 5 операция сложении векторов символически записывается следующим образом:

r12 + r23 = r13

§2. Некоторые сведения о векторах

Векторы, направленные вдоль параллельных прямых (в одну и ту же или в противоположные стороны), называются коллинеарными.

Векторы, направления которых параллельны одной и той же плоскости, называются коллинеарными.

Одинаковые но модулю коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону, считаются равными друг другу1. Равные по модулю коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления, считаются отличающимися друг от друга по знаку. Так, например, между векторами, изображенными на рис.6,

Рис.6 и их модулями имеются следующие соотношения:

A = B; A = −C; B = −C;

A = B = C или A = B = C

Сложение векторов. О том, как складываются два вектора в результирующий вектор, была уже речь в предыдущем параграфе. Рассмотрим теперь этот вопрос несколько подробнее.

а)

б)

с)

Пусть нам даны два вектора А и В (рис. 7, а ). Чтобы получить результирующий вектор С,

1 Имеются в виду так называемые свободные векторы, т. е. векторы, которые могут быть отложены из любой точки пространства. Кроме свободных бывают скользящие векторы, начало которых может скользить по прямой, проходящей через вектор, и связанные векторы, т, е, векторы, приложенные к определенной точка Последние два вида векторов могут быть выражены через свободные векторы; по этой причине в основу векторного исчисления положено понятие свободного вектора, называемого обычно просто.

10

перенесем вектор В параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось совмещенным с концом вектора А1 (рис. 7,б). Тогда вектор С, проведенный из начала вектора А в конец вектора В, будет представлять собой результирующий вектор:

C = A + B

Можно, однако, осуществить построение несколько иным способом (рис, 7, в). Перенесем вектор В (или А) так, чтобы начала обоих векторов оказались совмещенными. Затем построим на векторах А и В параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, очевидно, совпадает с вектором С, полученным по способу, показанному на рис 7,б. По этой причине иногда говорят, что векторы складываются по правилу параллелограмма.

Оба рассмотренных способа—б) и в)—дают одинаковый результат, Однако в случае сложения более чем двух векторов способ б) оказывается более простым и удобным. Пусть даны векторы А, В, С и D (рис. 8).

а)

б)

с)

Перенесем векторы параллельно самим себе таким образом, чтобы начало последующего вектора оказалось совмещенным с концом предыдущего. Получится ломаная линия. Результирующий вектор будет представлять собой вектор Е, проведенный из начала первого из слагаемых векторов А в конец последнего D. Легко убедиться в том, что результирующий вектор Е не зависит от последовательности, в которой складываются заданные векторы.

На рис. 8,б показан случай E = A + B + C + D , а на рис. М — случай E = D + B + C + A .

Вычитание векторов. Разностью двух векторов А — В называется такой вектор С который в сумме с вектором В дает вектор А (рис. 9)

Рис.9	Рис.10
Поскольку разность А —В может быть представлена в виде
A − B = A + (−B)

вектор С=А—В можно получить, сложив вектор А с вектором, равным по величине вектору В, но имеющим противоположное ему направление. На рис. 10 сопоставлены сумма и разность векторов А и В.

Разложение векторов на составляющие. Каждый вектор А можно заменить несколькими векторами A1, A2 и т. д., которые в сумме дают вектор А. В этом случае векторы А1, А2 и т, д. называются составляющими вектора А, Саму операцию замены вектора А несколькими векторами называют разложением вектора А на составляющие.

1 Такой перенос можно рассматривать как замену вектора В равным ему вектором, имеющим начало, совпадающее с концом вектора А

11

Рис.11

На рис. 11 показано разложение вектора А на составляющие, имеющие направления прямоугольных координатных осей. Символами Ax, Аy, Аz обозначены составляющие вектора А по осям х, y z. Проекция вектора на ось. Пусть нам даны вектор А и некоторое направление в пространстве (ось), которое мы обозначим, например, буквой п (рис. 12). Проведем

через начало и конец вектора А плоскости, перпендикулярные к направлению п. Точки 1' и 2' в которых пересекаются эти плоскости с осью n, называются проекциями начала и конца вектора А на ось n. Величина отрезка оси, заключенного между плоскостями, называется проекцией вектора А на направление (или на ось) n, Проекция вектора — скаляр. Если направление от точки 1' к точке 2' совпадает с направлением n, проекция считается положительной; в противном случае проекция отрицательна.

Проекция обозначается той же буквой, что и сам вектор с добавлением индекса, обозначающего то направление, на которое спроектирован вектор. Например, проекция вектора А на направление n обозначается Аn,

Введем в рассмотрение угол φ, который образует вектор А с осью n (рис. 12).

Рис.12
Проекция Аn, очевидно, может быть вычислена следующим образом:
An = Acosϕ	(2.1)
12

где А — модуль вектора А.

Если вектор образует с данным направлением острый угол, косинус этого угла положителен, проекция вектора также положительна. Если вектор образует с осью тупой угол, косинус этого угла отрицателен, проекция также отрицательна. Если вектор перпендикулярен к данной оси, проекция его равна нулю.

На рис. 13 показаны проекции нескольких векторов на координатные оси х и у. Для этих проекций имеют место следующие соотношения:

Ax = Cx > 0, Bx < 0; Ay = By >,Cy < 0.

Если вектор А образует с осями х, у и z углы α, β и γ, то его проекции будут равны:
Ax = Acosα ,
Ay = Acos β ,	(2.2)
Az = Acosγ

Легко понять, что по заданным проекциям вектора на три координатные оси может быть построен сам вектор. Следовательно, всякий вектор может быть определен тремя числами — проекциями его на оси координат. Напомним, что скаляр задается одним числом.

Рис. 13.

Рис.14

13

Рассмотрим сумму нескольких векторов Е=A+B+C+D (рис. 14). Очевидно, что
Ex = Ax + Bx + Cx + Dx	(2.3)

т. е, проекция суммы векторов на некоторое направление равна сумме проекций слагаемых векторов на то же направление.

Радиусвектор. Радиусом-вектором точки называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку (рис. 15).

Рис.15

Радиус-вектор r однозначно определяет положение точки в пространстве. Его проекции на координатные оси равны, как видно из рисунка, декартовым координатам точки:

rx = x;ry = y;rz = z	(2.4)
Квадрат модуля вектора r равен сумме квадратов координат:
r2 = x2 + y2 + z2	(2.5)

Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора А на скаляр а получается новый вектор В, модуль которого в |a| раз больше модуля вектора А, а направление совладает с направлением, если скаляр а положителен и противоположно ему, если скаляр а отрицателен. Если В=а А, то В=|a|А,

Деление вектора на скаляр В равносильно умножению вектора на скаляр а=1/b.

Единичный вектор. Каждому вектору А может быть сопоставлен единичный вектор

Аеденич, имеющий то же направление, что и А, а по модулю разный единице. Очевидны следующие соотношения:

A = A Aеденичн
		A		(2.6)
Aеденичн	=
		A

Единичный вектор имеет также другое название — орт. Модули составляющих вектора по координатным осям Ax, Ay и Az (см. рис. 11) равны модулям проекций вектора на эти оси:

Ax = Ax , Ay = Ay , Az = Az .

14

Введем единичные векторы, имеющие направления координатных осей. Их принято обозначать следующим образом: единичный вектор, направленный по оси х, символом i, по оси у — символом j и по оси z — символом к1. Векторы i, j и k называют ортами осей х, у и z соответственно.

Тогда, например, составляющую Ах можно представить в виде (см. рис. 11)
Ax = Axi	(2.7)

Всамом деле, модуль вектора Axi будет равен |Аx|, т. e. |Аx|. Далее, если вектор Аx направлен

вту же сторону, что и ось x, т. е. совпадает по направлению с ортом і, то, как легко видеть из рис. 11, Ах положительна, если же Ах направлен в сторону отрицательных x т. е. противоположно вектору i, Ах оказывается отрицательной, так что вектор Ахі имеет направление, противоположное i и, следовательно, совпадающее с направлением вектора Аx.

Для двух других составляющих Ау и Аz можно написать выражении, аналогичные (2.7)

Aу = Aуi	,	A = A k
		z z
Поскольку вектор А равен сумме своих составляющих, можно написать:
A = Axi + Ayi + Az k			(2.8)

Таким образом, любой вектор можно выразить через его проекции на координатные оси и единичные векторы (орты) этих осей.

Производная вектора. Предположим, что вектор (2.8) изменяется со временем по известному закону А(t). Это означает, что проекции вектора на координатные оси представляют собой заданные функции времени t:

A(t) = iAx (t) + jAy (t) + kAz (t)

(если координатные оси не поворачиваются в пространстве, орты осей со временем не изменяются).

Пусть за промежуток времени ∆t проекции вектора получают приращения ∆Аx, ∆Ay, ∆Az в

	результате чего сам вектор получает приращение			A = i		Ax + j Ay + k Az	скорость изменения
	вектора А со временен t можно, очевидно, охарактеризовать отношением
	A		A	Ay		A	(2.9)
		= i	x + j		+ k	z
	t			t
			t			t

Написанное нами выражение дает среднюю скорость изменения А в течение промежутка времени ∆t. Пусть А изменяется со временем непрерывно, без скачков. Тогда чем меньше промежуток ∆t тем точнее величина (2.9) характеризует скорость изменения А в любой из моментов времени, принадлежащих промежутку ∆t. Таким образом, скорость изменения вектора А в момент времени t равна пределу выражения (2.9), получающемуся при неограниченном уменьшении ∆t:

		A		Ay		A
	Скорость изменения A= lim = i lim	x + j lim			+ k lim	z
				t
	t→0 t→0	t	t→0		t→0	t

Предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆t, получающийся при стремлении ∆t к нулю, называется производной функции f пo t и обозначается символом df/dt, Следовательно, скорость изменения со временем вектора А равна

dA		dA		dAy		dA	(2.10)
	= i	x	+ j		+ k	z
dt				dt		dt
		dt

Сопоставляя полученное выражение с формулой (2.8), легко видеть, что стоящие в (2.10) множители при ортах суть проекции вектора на оси координат:

1 Применяются также обозначения: ex, ey, ez

15