I=I0+ma2,

что и требовалось доказать [см. (39.7)].

В заключение приведем значения моментов инерции для некоторых тел (тела предполагаются однородными, m — масса тела).

1. Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сечением любой формы. Максимальный поперечный размер стержня b во много раз меньше длины

Рис. 105.

Рис. 106.

стержня l (b<<l). Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 104), равен

I = 121 ml2.

Рис 104.

2. Для диска или цилиндра при любом отношении R к l (рис. 105) момент инерции относительно оси, совпадающей с геометрической осью цилиндра, равен

I= 12 mR2.

3.Тело — тонкий диск. Толщина диска b во много раз меньше радиуса диска R (b<<R). Момент инерции относительно оси, совпадающей с диаметром диска (рис. 106), равен

I= 14 mR2.

4.Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр, равен

I= 52 mR2.

§40. Кинетическая энергия твердого тела.

Вращение тела вокруг неподвижной оси. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси, которую мы назовем осью z. Линейная скорость элементарной массы mi может быть представлена в виде

υi = Riω,

где Ri — расстояние mi от оси z. Следовательно, кинетическая энергия i-й элементарной массы равна

109

. При вращательном движении роль массы играет момент

	m υ2		1		R2	ω2.
T =	i i	=		m
i	2		2	i	i

Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей: T = ∑ Ti = 12 ω2 ∑ miRi2.

сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела Iz относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна

T =	Izω2	(40.1)
	2 .

Полученное выражение аналогично выражению для кинетической энергии тела,

движущегося поступательно, T = mυ2

2

инерции, а роль линейной скорости - угловая скорость.

Работа внешних сил при вращении твердого тела. Найдем работу, которую совершают внешние силы при вращении тела вокруг неподвижной оси z. Обозначим внешнюю силу, приложенную к элементарной массе mi, через fi. За время dt i-я элементарная масса проходит путь (рис. 107)

dsi = Ridϕ,

Рис. 107.

где dφ — угол, на которой поворачивается тело за время dt.

Работа силы fi на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которую можно обозначить символом fτi (τ — единичный вектор касательной к окружности, по которой движется i-я элементарная масса; направление этого вектора совпадает с направлением перемещения в данный момент). Таким образом,

dAi = fτidsi = fτiRidϕ.

Но fτiRi равно модулю момента силы fi относительно оси z, т. е. |Mzi|, взятому со знаком «+», если fτi положительна, и со знаком «-», если fτi отрицательна [см. формулу (36.10); в этой формуле fτ — не проекция, а модуль силы fτ]. Следовательно,

dAi = ±		Mzi		dϕ.	(40.2)

Элементарный угол поворота можно рассматривать как аксиальный вектор

110

dϕ = ωdt.

Легко сообразить, что работа dAi будет положительна, когда вектор Mzi имеет такое же направление, как и dφ, и отрицательна, если направления векторов Mzi и dφ противоположны. Поэтому формуле (40.2) можно придать вид:

dAi = Mzidϕ.

Работа всех сил, приложенных к телу, равна сумме работ, совершаемых отдельными силами: dA = ∑dAi = ∑M zidϕ = (∑M zi )dϕ

Сумма, стоящая в скобках, дает результирующий момент Mz всех приложенных к телу внешних сил относительно оси вращения. Следовательно,

dA = M zdϕ 1

(40.3)

Это выражение аналогично выражению для работы при поступательном движении:

dA = fds . Из сопоставления следует, что в случае сращения роль силы играет момент силы, а

роль линейного перемещения ds = vdt — угловое перемещение dϕ = ωdt .
Практически для вычисления работы пользуются выражением
dA = Mω dϕ = Mωωdt	(40.4)

где под Mω подразумевается проекция результирующего момента приложенных к телу внешних сил на направление вектора ω . Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования выражения (40.4):

ϕ	t
A = ∫dA = ∫Mω dϕ = ∫Mωωdt		(40.5)
0	0
Если проекция результирующего момента сил на направление т остается постоянной, ее
можно вынести за знак интеграла:
	ϕ
A = Mω ∫dϕ = Mωϕ		(40.6)
	0

(ϕ — угол, на который поворачивается тело за время t).

Кинетическая энергия тела при плоском движении. Плоское движение тела, как мы видели в § 34, может быть представлено как наложение двух движений — поступательного с некоторой

скоростью V0 и вращения вокруг соответствующей оси. Свяжем с телом систему координат K′ ,

ось z′ которой направим вдоль вектора угловой скорости вращения тела ω . Согласно формуле (33.13) скорость i-й элементарной массы тела в неподвижной системе координат К может быть представлена в виде

vi = v0 + ω,ri′

1	Повторив рассуждения для приложенных к элементарным массам внутренних сил	f	′
		i	, мы пришли бы к

формуле

dA = M ′dϕ

z

M ′

где z — результирующий момент всех внутренних сил. Этот момент, как мы знаем, равен нулю (см. последний абзац §36), Следовательно, суммарная работа внутренних сил при вращении тела равна нулю.

111

где	v	K′, r′	-радиус-вектор, определяющий
	0 — скорость начала координат О' системы	i
положение элементарной массы по отношению к точке О'.
	Кинетическая энергия i-й элементарной массы равна1

Ti =

mυ 2

1

mi {v0 +

ω,ri′

}

2

2

= 2

i i

Осуществив возведение в квадрат, получим;

T

=

1

m υ 2

+ 2v

ω,r′

+ ω,r′ 2

(40.7)

i

2

0

1

1

i 0

Векторное произведение ω на ri′ , можно, как мы знаем, заменить векторным произведением ω на Ri — перпендикулярную к оси z′ составляющую радиуса-вектора ri′ [см. формулу (11.4) и следующий за ней текст]. Модуль этого векторного произведения равен ωRi

(ω и Ri взаимно перпендикулярны). Следовательно, ω,ri′ 2 = ω 2Ri2				. Подставим это значение в
(40.7) и просуммируем Ti по всем элементарным массам, В результате мы получим
кинетическую энергию тела:
T = 1 ∑ miυ02	+ ∑v0 ω,	miri′ +	1 ∑ω 2	mi Ri2
2			2

Вынесем всюду постоянные множители за знак суммы:

T =

1υ02

∑ mi + v0

ω,

∑ miri′

+ 1 ω 2 ∑ mi Ri2

2

2

(при преобразовании второго слагаемого в правой части равенства мы воспользовались

дистрибутивностью векторного и скалярного произведений).

Сумма элементарных масс

∑ mi

есть масса тела т. Выражение

∑ miri′

равно

r ′

центра инерции тела в системе К' [см. формулу

произведению массы тела на радиус-вектор C

(23.1)]. Наконец, ∑ mi Ri2

дает момент инерции Iz

тела относительно оси вращения z′ .

Поэтому можно написать, что

T =

mυ02

+ v

ω,mr ′ +

Izω 2

(40.8)

2

2

0

C

Это выражение можно упростить, взяв в качестве точки О' центр инерции тела С, т. е.

поместив начало системы координат К' в точку С. В этом случае rC′ = 0 , так что второе слагаемое исчезает. Поэтому, обозначив через vc скорость центра инерции, а через Ic — момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через точку Ci получим для кинетической энергии тела формулу:

T =	mυ 2	+	I ω 2
	2		2
	C		c	(40.9)

1 Напомним, что квадрат вектора равен квадрату его модуля: vi2 = υi2

112