Часть 2. Колебания и волны

Глава IX. Колебательное движение

§61. Общие сведения о колебаниях

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т. п.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т. д. В данной главе рассматриваются механические колебания.

Колебания широко распространены в природе и технике. Во многих случаях они играют отрицательную роль. Колебания моста, возникающие из-за толчков, сообщаемых ему колесами поезда при прохождении через стыки рельсов, колебания (вибрации) корпуса корабля, вызванные вращением гребного винта, вибрации крыльев самолета — все это процессы, которые могут привести к катастрофическим последствиям, В подобных случаях задача заключается в том, чтобы предотвратить возникновение колебаний или во всяком случае воспрепятствовать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров.

Вместе с тем колебательные процессы лежат в самой основе различных отраслей техники. Так, например, на колебательных процессах основана вся радиотехника.

В зависимости от характера воздействия оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник). Для того чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторон у, отпустить его.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером могут служить колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой — система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в те моменты, когда маятник проходит через среднее положение.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, т. е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер» очень близкий к гармоническим, и, вовторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

§62. Гармонические колебания

Рассмотрим систему, состоящую из шарика массы m, подвешенного на пружине (рис. 162), В состоянии равновесия сила mg уравновешивается упругой силой k to:

163

mg = k t0.

(62.1)

Рис. 162.

Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой х, причем ось х направим по вертикали вниз, а нуль оси совместим с положением равновесия шарика.

Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние, равное х (х — алгебраическая величина), то удлинение пружины станет равным l0+х и проекция результирующей силы на ось х (обозначим эту проекцию просто буквой f) примет значение

f = mg − k ( l0 + x).

Учитывая условие равновесия (62.1), получим, что
f = −kx.	(62.2)

Знак «—» в формуле (62.2) отражает то обстоятельство, что смещение и сила имеют противоположные направления; если шарик смещен

из положения равновесия вниз (х>0), сила направлена вверх (f<0), при смещении шарика вверх (х<0) сила направлена вниз (f>0). Таким образом, сила f обладает следующими свойствами: 1) она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия, 2) она всегда направлена к положению равновесия.

В рассмотренном нами примере сила (62.2), в сущности, по своей природе упругая. Может случиться, что сила иного происхождения обнаруживает такую же закономерность, т. е. оказывается равной — kx, где k — постоянная положительная величина. Силы такого вида, независимо от их природы, принято называть квазиупругими.

Для того чтобы сообщить системе смещение x, нужно совершить против квазиупругой силы работу

A = ∫x (− f )dx = ∫x		kxdx = kx2 .
0	0	2

164

Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы. Следовательно, система» в которой действует квазиупругая сила, при смещении из положения равновесия на расстояние х обладает потенциальной энергией1

Ep	= kx2	(62.3)
	2

(потенциальную энергию в положении равновесия полагаем равной нулю).

Выражение (62.3) совпадает с выражением (27.13) для потенциальной энергии деформированной пружины.

Обратимся снова к системе, изображенной на рис. 162.

Рис. 163.

Сообщим шарику смещение х=а, после чего предоставим систему самой себе. Под действием силы f=—kx шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью v=x. При этом потенциальная энергия системы будет убывать (рис. 163), но зато появится все возрастающая кинетическая энергия Ek=mx2/2 (массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик продолжает двигаться ло инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т. е. когда смещение шарика станет равным — а. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от x=а до х — -а неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид mx = −kx.

Преобразуем это уравнение следующим образом:

	x +	k	x = 0.	(62.4)
		m

Коэффициент при х положителен. Поэтому его можно представить в виде

	ω02 =	k	,	(62.5)
		m
	где ω0—вещественная величина.
	Применяя в (62.4) обозначение (62.5), получим:
	x + ω02 x = 0.			(62.6)

1 Мы вынуждены отказаться от обозначений кинетической и потенциальной энергии, которыми пользовались в механике. В учении о колебаниях буквой T принято обозначать период колебаний. Буквой U в молекулярной физике обозначают внутреннюю энергию тела. Поэтому мы будем в дальнейшем обозначать кинетическую энергию буквой Е, а потенциальную Еp.

165

Рис. 164.

Таким образом, движение шарика под действием силы вида (62.2) описывается линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Легко убедиться подстановкой, что общее решение уравнения (62.2) имеет вид
x = a cos(ω0t +α ), 1	(62.7)

где а и а—произвольные постоянные.

Итак, смещение х изменяется со временем по закону косинуса. Следовательно, движение системы находящейся под действием силы вида f=—kx, представляет собой гармоническое колебание.

График гармонического колебания, т. е. график функции (62.7), показан на рис. 164. По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной оси — смещение x. Поскольку косинус изменяется в пределах от —1 до +1, значения х лежат в пределах от — а до +a.

Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда а — постоянная положительная величина. Ее значение определяется величиной первоначального отклонения или толчка, которым система была выведена из положения равновесия.

Величина (ω0t+α ), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Постоянная α представляет собой значение фазы в момент времени t=0 и называется начальной фазой колебания. С изменением начала отсчета времени будет изменяться и α . Следовательно, значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета времени. Так как значение х не изменяется при добавлении или вычитании из фазы целого числа 2π, всегда можно добиться того, чтобы начальная фаза была по модулю меньше π. Поэтому обычно рассматриваются только значения α , лежащие в пределах от -π до +π.

Поскольку косинус — периодическая функция с периодом 2π, различные состояния2 системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени T, за который фаза колебания получает приращение, равное 2π (рис. 163). Этот промежуток времени Т называется периодом колебания. Он может быть определен из следующего условия: [(ω0 (t+Т)+α ]=[ω0t+α ]+2π, откуда

T =	2π .	(62.8)
	ω0

1Или x=a sin(ω0t+ά), где ά=а+π/2.

2Напомним, что состояние механической систему характеризуется значениями координат и скоростей тел, образующих систему.

166

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания υ. Очевидно, что частота υ связана с продолжительностью одного колебания Т следующим соотношением:

ν =	1	.	(62.9)
	T

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 сек. Эту единицу называют герцем (гц). Частота в 103 гц называется килогерцем (кгц), в 106 гц — мегагерцем (Мгц).

Из (62.8) следует, что

ω0	=	2π .	(62.10)
		T

Таким образом, ω0 дает число колебаний за 2π секунд. Величину ω0 называют круговой или циклической частотой. Она связана с обычной частотой υ соотношением

ω0 = 2πν .					(62.11)
Продифференцировав (62.7) по времени, получим выражение для скорости
υ = x = −αω0 sin (ω0t + α ) = αω0	cos	ω0t + α +	π	.	(62.12)
			2

Рис. 165.

Как видно из (62.12), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна ω0α . Из сравнения (62.7) и (62.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2.

Продифференцировав (62.12) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения

υ = x = −αω02 cos(ω0t + α ) = αω02 cos(ω0t + α + π ).

(62.13)

Как следует из (62.13),ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.

167