§45. Деформации твердого тела

Как уже отмечалось, под действием сил происходит деформация тел, т. е. изменение их размеров и формы. Если после прекращения действия сил, вызвавших деформацию, тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Мы ограничимся кратким рассмотрением основных упругих деформаций.

Упругие деформации происходят в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определенный для каждого конкретного тела предел. При превышении этого предела тело получает остаточные или пластические деформации, сохраняющиеся и после прекращения действия силы на тело.

Все возможные виды упругих деформаций твердого тела могут быть сведены к двум основным: растяжению (или сжатию) и сдвигу.

Продольное растяжение (или одностороннее сжатие). Если к концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль его оси силы

Рис. 125.

f1 и f2 (ƒ1 ƒ2=ƒ), действие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня l получит положительное (при растяжении), либо отрицательное (при сжатии) приращение ∆l (рис. 125). При этом каждый произвольно выбранный элемент стержня δl получает приращение ∆(δl) пропорциональное его длине, так что для всех элементов стержня

	отношение	(δ l )	оказывается одним и тем же. Естественно поэтому в качестве величины,
		δ l

характеризующей деформацию стержня, взять относительное изменение его длины:

ε =	l .	(45.1)
	l

Как следует из его определения, относительное удлинение ε является безразмерной величиной. В случае растяжения оно положительно, а в случае сжатия — отрицательно.

Опыт дает, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

ε = α	f	.	(45.2)
	S

130

Коэффициент пропорциональности α называется коэффициентом упругости. Он зависит только от свойств материала стержня.

Величина, равная отношению силы к величине поверхности, на которую сила действует, называется напряжением. Благодаря взаимодействию частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела—весь объем стержня оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется тангенциальным. Нормальное напряжение принято обозначать буквой σ, тангенциальное — буквой τ.

Введя в рассмотрение нормальное напряжение
σ =	f	,	(45.3)
	S
уравнение (45.1) можно записать следующим образом:
ε = ασ .			(45.4)

Таким образом, относительное удлинение оказывается пропорциональным нормальному напряжению. Из (45.4) вытекает, что коэффициент упругости α численно равен относительному удлинению при напряжении, равном единице.

Наряду с коэффициентом упругости α для характеристики упругих свойств материала пользуются обратной ему величиной Е=1/α, которая называется модулем Юнга.

Заменяя в (45.4) ее через Е, получим:

ε =	σ	,	(45.5)
	E

откуда следует, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице (т. е. приращение длины ∆l было бы равно первоначальной длине l), если бы столь большие упругие деформации были возможны (на самом деле, при значительно меньших напряжениях происходит разрыв стержня, еще раньше достигается предел упругости).

С учетом (45.1) и (45.5) соотношение (45.3) может быть приведено к следующему виду:

f =	ES	l = k l,	(45.6)
	l

где k—постоянный для данного стержня коэффициент.

Согласно (45.6) удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Соотношение (45.6) выражает закон Гука для данной деформации. Этот закон выполняется только до тех пор, пока не достигается предел упругости.

Изменение длины стержня при деформации сопровождается соответствующим изменением поперечных размеров стержня d (рис. 125). Это изменение принято характеризовать относительным поперечным расширением или сжатием:

		′	d
	ε		= d .	(45.7)

Очевидно, что ε и ε' всегда имеют разные знаки: при растяжении ∆l положительно, a ∆d отрицательно, при сжатии ∆l отрицательно, a ∆d положительно. Опыт дает, что ε' пропорционально ε:

ε ′ = −με ,

(45.8)

где μ—положительный коэффициент, зависящий только от свойств материала. Его называют коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона.

Сдвиг. Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы f1 и f2 (f1=f2=f), направленные параллельно этим граням (рис. 126). Если действие сил будет равномерно распределено но всей поверхности

131

соответствующей грани S, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение

τ =	f	.	(45.9)
	S

Под действием напряжений тело деформируется таким образом, что верхняя (на рисунке) грань сместится относительно нижней на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные горизонтальные слои, то каждый слой окажется сдвинутым относительно соседних с ним слоев. По этой причине деформация такого вида получила название сдвига.

Рис 126.

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый уголϕ . Следовательно, отношение сдвига δ a двух

произвольно взятых слоев к расстоянию между этими слоями δ b будет одинаково для любой пары слоев. Это отношение естественно взять в качестве характеристики деформации сдвига:

γ = a	= tgϕ.		(45.10)
b
Величина γ называется относительным сдвигом. В силу малости угла ϕ можно положить
tgϕ ≈ ϕ . Следовательно, относительный сдвиг γ	оказывается равным углу сдвига ϕ . Опыт
показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:
ν =	1	τ .	(45.11)
	G

Коэффициент G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равным 45° (tgϕ = 1), если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости.

Кроме разобранных нами основных деформаций, рассмотрим кручение круглого стержня. Если круглый стержень закрепить одним кондом неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент М, имеющий направление вдоль оси стержня (рис. 127), то стержень получит такую деформацию, при которой его нижнее основание повернется по отношению к верхнему на некоторый уголϕ .

132

Рис. 127.

Легко видеть, что деформация при кручении представляет собой деформацию сдвига. Действительно, если мысленно разбить стержень на элементарные слои, перпендикулярные к его оси, то закручивание приведет к сдвигу каждого из таких слоев по отношению к соседним с ним слоям. Правда, сдвиг этот будет неоднороден: участок слоя ∆S получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя тем большее смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня.

Произведя соответствующий расчет, можно показать, в согласии с опытом, что угол закручивания стержня определяется следующим выражением:

	ϕ =	2l	M ,	(45.12)
		π r4G

где l – длина стержня, r - его радиус, G - модуль сдвига, М - вращательный момент.

Обозначая постоянный для данного стержня множитель при М буквой k, соотношению (45.12) можно придать вид

ϕ = kM .

(45.13)

Последнее соотношение выражает закон Гука при кручении. При постоянной длине стержня из данного материала коэффициент пропорциональности k очень сильно зависит от толщины стержня (как 1/r4).

Энергия упругой деформации. Упруго деформированное тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в недеформированное состояние, может, подобно сжатой или растянутой пружине, совершить работу над внешними телами, т. е. обладает некоторым запасом энергии1. Поскольку эта энергия обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представляет собой потенциальную энергию. Запас энергии деформированного тела равен, очевидно, работе, которая совершается внешними силами при деформации.

Вычислим энергию упруго растянутого (сжатого) стержня. При растяжении на стержень необходимо действовать силой, величина которой определяется выражением (45.6). Работа этой силы равна

1 См. (27.13) и соответствующий текст,

133