∑ mi wi = ∑ Fi

(35.3)

где справа получается результирующая всех внешних сил, действующих но тело. Сумму, стоящую в левой части уравнения (35.3), можно заменить произведением массы тела m на ускорение его центра инерции wc. Действительно, радиус-вектор центра инерции по определению (см. (23.1)) равен

rc = ∑ mi wi .

m

Продифференцировав это соотношение дважды по времени и учитывая, что rc=wc, a ri=wi, можно написать:

mwc = ∑ mi wi .	(35.4)
Следовательно,
mwc = ∑Fi .	(35.5)

откуда вытекает, что центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.

Уравнение (35.5) дает возможность установить движение центра инерции твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. В случае поступательного движения это уравнение будет определять ускорение не только центра инерции, но и любой другой точки тела.

§36. Вращение твердого тела. Момент силы

Чтобы выяснить, чем определяется характер вращения тела вокруг неподвижной оси, рассмотрим следующий опыт. Возьмем тело в виде легкой крестовины, на концах которой закреплены равные массивные грузы m (рис. 87).

В центре крестовины укрепим ступенчатый шкив. Крестовину вместе со шкивом наденем на ось, позаботившись о том, чтобы трение при вращении вокруг этой оси было пренебрежимо мало.

Рис. 87.

Прикрепим к одной из ступеней шкива конец нити, обмотаем ее вокруг шкива и, перебросив свободный конец нити через блок, подвесим к нему груз P. Если отпустить груз P. крестовина пойдет во вращение со все возрастающей угловой скоростью ω, причем вращение будет равномерно-ускоренным.

Варьируя величину груза P, радиус шкива l, массу грузов m и их расстояние R от оси вращения» исследуем, как эти факторы влияют на величину углового ускорения β . Результаты

подобного исследования сводятся к тому, что угловое ускорение β 1) прямо пропорционально натяжению нити l и радиусу шкива l;

93

2) обратно пропорционально массе грузов т и квадрату их расстояния R от оси вращения.

Следовательно, ускорение вращательного движения зависит не только от величины действующей на тело силы f, но и от расстояния l от оси вращения до литии, вдоль которой действует сила. Произведение fl дает величину так называемого момента силы относительно оси вращения.

Из рассмотренного опыта следует также, что на величину углового ускорения оказывает влияние не только масса вращающегося тела, но и распределение массы относительно оси вращения. Величина, учитывающая оба эти обстоятельства, носит название момента инерции тела относительно оси вращения.

Итак, для изучения вращательного движения необходимо ввести в рассмотрение две новые физические величины — момент силы и момент инерции.

Рис. 88.

Начнем с выяснения понятия момента силы. Момент инерции будет рассмотрен в следующих параграфах. Момент силы относительно точки. Моментом силы f относительно некоторой точки О называется векторная величина М, определяемая выражением

M = [rf ]

(36.1)

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы. Поясняющий это определение рис. 88 выполнен в предположении, что точка О, относительно которой берется момент, и вектор f лежат в плоскости. Тогда и вектор r располагается в этой плоскости, вектор же М перпендикулярен к плоскости рисунка и направлен от нас. Вектор М изображен кружком с вписанным в него крестиком1.

Из определения (36.1) следует, что М является аксиальным вектором. Его направление выбрано так, что Вращение вокруг точки О в направлении силы и вектор М образуют правовинтовую систему.

Модуль вектора М равен

M = rf sinα = lf

(36.2)

1 В дальнейшем векторы, перпендикулярные к плоскости рисунка, мы будем изображать кружком с крестиком, если вектор направлен от нас, и кружком с точкой в его центре, если вектор направлен на нас. Для наглядности можно представлять себе вектор в виде стрелы с конусообразным наконечником и крестообразным оперением на хвосте Тогда, если вектор направлен на нас (стрела летит к нам), мы увидим кружок с точкой, если же вектор направлен от нас (стрела летит от нас), мы увидим кружок с крестиком.

94

где а — угол между направлениями векторов r и f, a l = r sinα — длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой действует сила (см, рис. 88). Эта длина называется плечом силы относительно точки О.

Рис. 89.

Формулам (36.1) и (36.2) для момента силы и его модуля можно придать иной вид. Для этого разложим вектор силы f на две составляющие; коллинеарную с r составляющую fr и перпендикулярную к r составляющую fτ (рис. 89). Если представить себе окружность радиуса r

с центром в точке О, то составляющая fr будет направлена по касательной к окружности. Заменим в формуле (36.1) вектор f суммой fr + fτ и воспользуемся свойством

дистрибутивности векторного произведения:

M =

[

rf

]

(

f

γ

+ f τ

)

γ

+

[

τ ]

.

= r,

= r, f

r, f

Первое слагаемое в полученном нами выражении равно нулю, так как векторы r и fr коллинеарны. Следовательно, момент силы относительно точки можно представить в виде:

M = [r, fτ ]	(36.3)
Поскольку векторы r и fτ взаимно перпендикулярны, модуль вектора М равен
M = rfτ	(36.4)

Из дистрибутивности векторного произведения вытекaeт, что момент суммы сил, имеющих общую точку приложения, равен сумме моментов слагаемых сил:

M =

[

rf

]

= r

(

f + f

2

+ ...

=

[

rf

]

+

[

rf

2

]

+ ... = M

1

+ M

2

+ ...

(36.5)

1

)

1

Момент пары сил. Парой сил называются две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной и той же прямой (рис. 90). Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют

Рис. 90.

Рис. 91.

95

силы, называется плечом нары. Покажем» что момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же. Сделаем это сначала для точки, лежащей в плоскости, в которой действуют силы (см. рис. 90). Обозначим одинаковый модуль сил f1 и f2 буквой f. Момент силы f1 равен fl1 и направлен на нас, момент силы f2 равен fl2 и направлен за чертеж. Результирующий момент направлен за чертеж и равен

M = fl2 − fl1 = f (l1 − l2 ) = fl

Полученное выражение не зависит от положения точки О на плоскости, на которой лежит пара сил.

Теперь выберем точку О совершенно произвольным образом (рис. 91). Проведем из этой точки радиусы-векторы r1 и r2 точек приложения сил f1 и f2. Из точки приложения силы f1 в точку приложения силы f2 проведем вектор r12. Очевидно, что

r2

= r1 + r12

(36.6)

Суммарный момент сил f1

и f2

равен

M = [r1 f1 ]+ [r2 f2 ].

Заменяя r2 согласно (36.6) и использовав дистрибутивность векторного произведения,

можно написать:

[ 1 1 ]

( 1

12 )

[ 1 1

]

[ 1

2 ]

[ 12

2 ]

M =

f

2

+

+

.

r f

+ r

+ r

=

r f

r f

r f

Поскольку f1=-f2, первые слагаемых взаимно уничтожаются и окончательно получается:

M = [r12 f2 ].

Рис. 92.

Таким образом, момент нары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы (рис. 92), и численно равен произведению модуля любой из сил на плечо. Момент силы относительно оси. Если тело может вращаться относительно точки О произвольным образом, то под действием силы f тело повернется вокруг

96

Рис. 93.

оси, перпендикулярной к плоскости, в которой лежат сила и точка О, т. е. вокруг оси, совпадающей с направлением момента силы относительно данной точки. Величина момента характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси. Если тело может вращаться только вокруг некоторой фиксированной оси, способность силы вращать тело вокруг этой оси характеризуется величиной, которая называется моментом силы относительно оси. Чтобы выяснить, что такое момент силы f относительно оси, найдем момент f относительно точки О и отложим вектор М этого момента из точки О (рис 93) предполагается, что векторы f, r и М не лежат в плоскости рисунка). Проведем через точку О ось, которую мы назовем осью z, и разложим вектор М на две составляющие: Mz — параллельную оси1 и Mz — перпендикулярную к оси. Параллельную оси z составляющую момента силы относительно точки О (лежащей на оси) называют моментом силы относительно оси. Обозначив момент силы относительно оси символом Mz, можно написать:

Mz = [rf ]z.

(36.7)

1 Составляющую Mz нужно отличать от проекции вектора М на ось z, обозначаемой символом Mz Mz вектор,

Mz — скалярная алгебраическая величина; между нами имеется простая связь: Mz =ez Mz где ez, — единичный вектор (орт) оси z [этот орт обозначают символикой k см. формулу (28)]

97

Рис. 94.

При заданном М величина и направление вектора Mz зависят от выбора оси z. Если ось r совпадает с направлением вектора M, то Mz будет равен М, если ось, перпендикулярна к вектору М, то Mz=0.

Выражение (367) для Mz можно сделать более наглядным. Для этого представим радиусвектор r в виде суммы двух составляющих: rz — параллельной оси и R — перпендикулярной к оси (рис. 94), Тогда момент силы относительно оси z можно записать в виде

M

z

=

[

rf

]z

( z

+ R

)

z

=

[ z

]z

+

[

Rf

]z

= r

, f

r f

Но вектор [rz, f] перпендикулярен к оси z; следовательно, его составляющая по этой оси равна нулю. Поэтому мы приходим к формуле:

M z = [Rf ]z

(36.8)

Теперь представим вектор силы f в виде суммы трех составляющих: f||—параллельной оси z, fR-коллинеарной вектору R и, наконец fx- перпендикулярной к плоскости, проходящей через ось z и вектор R. На рис. 94 эта составляющая изображена кружком с кре-

Суммарный момент внутренних сил. Силы, с которыми взаимодействуют друг с другом две любые элементарные массы, лежат на одной и той же прямой (рис. 95).

98