отмечавшаяся в предыдущем параграфе зависимость средней длины свободного пробега от температуры.

Зависимость вязкости газа от массы молекул можно проверить на газах, молекулы которых, отличаясь по массе, обладают одинаковым эффективным сечением. Примером таких газов могут служить обычный и тяжелый водород (дейтерий). Атомы (а соответственно и молекулы) дейтерия имеют в 2 раза большую массу, чем атомы обычного водорода. Электрические же свойства Молекул водорода и дейтерия примерно одинаковы. Поскольку взаимодействие между молекулами, а следовательно, и эффективное сечение, определяется электрическими свойствами молекул, дейтерий и водород обладают одинаковым эффективным сечением, и их коэффициенты вязкости должны при одной и той же температуре находиться в отношении

2 :1. Экспериментально было найдено, что η дейтерия превосходит η водорода в 1,39 раза, что весьма близко к теоретическому значению.

§113. Теплопроводность газов

Опытным путем установлено, что в случае, если в какой-либо среде вдоль некоторого направления z температура не остается постоянной, то вдоль этого направления устанавливается поток тепла, величина которого определяется формулой:

q = − x dT	S	(113.1)
dz

где q—количество тепла, протекающее за единицу времени через площадку S, расположенную перпендикулярно к оси z, dTdz -градиент температуры, x —коэффициент пропорциональности,

зависящий от свойств среды и называемый коэффициентом теплопроводности. Размерность q равна дж/сек (или эрг/сек, кал/сек и т. д.). Следовательно, x имеет размерность дж/м*сек*град. Знак “—“ в (113.1) отражает то обстоятельство, что направление, в котором возрастает температура, и направление, в котором течет тепло, противоположны, т. е. что тепло течет в направлении убывания температуры. Поток тепла в (113.1) величина алгебраическая: если тепло течет в положительном направлении оси z, q положительно, если же тепло течет в отрицательном направлении оси z, то q отрицательно (рис. 254).

Рис. 254.

Чтобы вычислить количество тепла Q, протекающее через площадку S за время t, нужно q умножить на t:

Q = qt = − x dT	St	(113.2)
dz

Попытаемся вычислить поток тепла в газе, основываясь на молекулярно-кинетических представлениях. Если температура газа в разных точках различна, то и средняя энергия молекул в этих точках также будет различна. Перемещаясь вследствие теплового движения из одних мест в другие, молекулы переносят запасенную ими энергию. Этот перенос энергии и обусловливает процесс теплопроводности в газах.

283

Рассмотрим газ, в котором каким-то способом поддерживается непостоянство температуры вдоль направления, которое мы обозначим буквой z. Представим мысленно площадку S, перпендикулярную к этому направлению (рис. 255)

Рис.255

Количество молекул, пролетающих через площадку S в направлении ее нормали, определяется, как мы знаем, выражением

dN	=	1
		nυ	S	(113.3)
dt		6

Каждая молекула несет с собой энергию, соответствующую температуре в том месте, где произошло последнее соударение ее с другой молекулой. В среднем это соударение происходит на расстоянии от S, равном средней длине свободного пробега λ. Поэтому молекулам, летящим

слева направо, следует приписывать энергию ε1 , отвечающую температуре Т1 в плоскости (z-

λ), молекулам же, летящим в противоположном направлении,—энергию ε 2 , отвечающую температуре Т2 в плоскости (z+λ).

Величины n и υ зависят от температуры. В связи с этим, казалось бы, следовало для нахождения числа молекул, летящих через площадку S слева направо, подставлять в формулу (113.3) значения n и υ , отвечающие температуре Т1 а для нахождения числа молекул, летящих справа налево, — значения n и υ , отвечающие температуре T2 Однако легко сообразить, что числа частиц, летящих через площадку S во встречных направлениях, не могут быть различными. Если бы они оказались неодинаковыми, то кроме потока тепла через площадку S наблюдался бы поток вещества—происходило бы перемещение газа из одной части пространства в другую. Мы же предполагаем, что движение газа, как целого, отсутствует.

Число молекул, пролетающих через S в каждом из направлений, найдем по формуле (113.3), приняв для n и υ их значения в сечении S. Тогда количество энергии, переносимое молекулами за секунду через площадку S в положительном направлении оси z можно записать следующим образом:

q =

dN

(ε1 −

ε 2 ) =

1

i

i

1

i

k (T1 − T2 )

(113.4)

nυ

S

kT1

−

kT2

=

nυ

S

6

2

6

2

dt

2

В силу малости λ можно считать, что

T1 = T − dTdz λ,T2 = T + dTdz λ

284

где Т—температура в том месте, где расположена площадка S, dTdz производная Т по z в том же

месте.

Подставив эти значения в формулу (113.4), получим: q = − 16 nυ S 2i k dTdz 2λ

Умножим и разделим это выражение на массу молекулы m и на число Авогадро NA:

1

i kNA dT

q = − 6 mnυ S

2λ

2

mNA

dz

Далее, учитывая, что mn=р, а

i

kNA

=

1

i

R =

1

C = c

2 mNA μ 2

μ

V

V

(cv— удельная теплоемкость при постоянном объеме), можно написать:

q = −	1	ρυλcV	dT	S	(113.5)
	3
		dz

Сопоставление (113.5) с (113.1) дает для коэффициента теплопроводности газов следующее выражение;

x =	1	ρυλcV	(113.6)
	3

Сравнив формулу (112.6) для η с формулой (113,6) для к, замечаем, что

x = ηcV	(113.7)
Более строгий расчет приводит к следующему соотношению между x и η:
x = Kηc1
где К—числовой коэффициент, определяемый формулой
K = 9γ − 5
4
Таким образом, для одноатомных газов (γ = Cp / Cv	= 5/ 3 ) коэффициент К—2,5 для
двухатомных газов (γ = 7 / 5 ) K=1.9 и т. д.

Выясним зависимость х от величин, характеризующих молекулу, и от параметров газа. Поскольку x ηcV , для этого достаточно умножить (112.7) на величины, входящие в выражение

для сv:

cV

=

1

CV =

1 i

R

i

μ

mNA 2

m

В результате получается

x

i

T

(113.8)

σ

m

Эта зависимость отличается от зависимости (112.7) для η тем, что х обратно пропорционален m , в то время как η прямо пропорционален m . Кроме того, х зависит от числа и характера степеней свободы молекулы (от числя i). Зависимость от давления и температуры у x такая же, как п у η. Следовательно, коэффициент теплопроводности не зависит от давления (до тех пор, пока λ не становится того же порядка, что и линейный размер сосуда, вдоль которого передается тепло) и возрастает с температурой несколько быстрее, чем T .

285

§114. Диффузия & газах

Рассмотрим газовую смесь, состоящую из нескольких компонент, т. е. из молекул нескольких сортов. Число молекул i-й компоненты в единице объема обозначим ni. Полное число молекул в единице объема будет равно

n = ∑ni

Относительной концентрацией i-й компоненты в смеси называется безразмерная величина ci' = nni

Очевидно, что сумма относительных концентраций всех компонент равна единице: ∑ci' = ∑ nni = 1

Абсолютной концентрацией какой-либо компоненты называется масса молекул данного сорта, содержащаяся в единице объема. Определенная таким образом концентрация представляет собой парциальную плотность данной компоненты. Если масса молекулы i-й компоненты mi, то абсолютная концентрация будет равна

ci = ni mi

Давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений отдельных компонент и определяется полным числом молекул в единице объема:

p = ∑ pi = ∑ni kT = nkT

Может случиться, что концентрация газовых компонент в различных точках пространства будет неодинакова. В этом случае вследствие теплового движения молекул будет происходить процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы i-й компоненты в направлении убывания ее концентрации. Этот процесс носит название диффузии.

Полное число молекул, а следовательно, и давление в процессе диффузии не изменяются. Происходит лишь перераспределение молекул разных сортов, т. е. изменение величин пи причем таким образом, что возрастание в каком-то месте ni для одной из компонент сопровождается одновременным изменением ni для других компонент, так что сумма ni остается постоянной.

В дальнейшем в этом параграфе будет идти речь о двух компонентных газовых смесях.

Предположим, что в некотором объеме каким-то образом поддерживается не изменяющийся со временем градиент концентраций обеих компонент вдоль направления z (рис. 256, на котором вместо абсолютные концентрации изображены пропорциональные им числа молекул в единице объема).

286

Рис. 256.

Давление во всем объеме одинаково. Следовательно, сумма n1+n2 в каждом сечении будет одна и та же. В этом случае через перпендикулярную к z площадку S устанавливается преимущественный поток молекул первого сорта в направлении слева направо, который можно охарактеризовать величиной массы M1 переносимой через S за одну секунду.

Опыт показывает что эта величина определяется следующим выражением:

M1	= −D dc1	S	(114.1)
	dz

где D—коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии, dcdz1 —

градиент абсолютной концентрации в том сечении, где мы мысленно расположили площадку S. Масса, переносимая через площадку S за время t, очевидно, равна

	M1t = −D	dc1	St	(114.2)
		dz

Одновременно будет существовать встречный поток молекул второго сорта, определяемый аналогичным выражением

M2 = −D dcdz2 S

Уравнение (114.1) представляет собой эмпирическое уравнение диффузии. Знак «-» показывает, что масса переносится в направлении убывания концентрации данной компоненты. Попытаемся получить уравнение диффузии, основываясь на молекулярно - кинетических представлениях, причем для упрощения расчетов мы будем считать, что молекулы обеих компонент мало отличаются по массе ( m1 ≈ m2 ≈ m ) и имеют практически одинаковые

эффективные сечения (σ1 ≈ σ 2 ≈ σ ). В этом случае молекулам обеих компонент можно

приписывать одинаковую среднюю скорость теплового движения υ , а среднюю длину свободного пробега вычислять по формуле где n=n1+n2.

λ = 1 2σ n

Пусть изменение концентрации первой компоненты вдоль оси z дается функцией c1=c1(z). Каждая молекула, пролетающая через площадку S, переносит присущую ей массу m (напомним, что m1 ≈ m ). Обозначим количество молекул первой компоненты, пролетающих за

287

секунду через S в направлении оси z, через N1' тоже число для направления противоположного

числа N′′ .

1

Тогда масса первой компоненты, переносимая за секунду в направлении z, может быть представлена в виде

M1 = (N1' − N1'' )m

(114.3)

Как и в предыдущих случаях (см. § 112 и 113), можно считать, что пересекающие площадку S молекулы прилетают из сечений, отстоящих от S на среднюю длину свободного пробега. Тогда количество молекул, пролетающих через S в направлении оси z, будет определяться

значением числа молекул в единице объема n1' ,отвечающим сечению с координатой z—λ, а количество молекул, летящих в противоположном направлении, — значением n1'' , отвечающим сечению с координатой z+λ. Таким образом, числа N1' и N1'' определяются выражением

N1 = 16 n1υ S

где для N1' должно быть взято число n1' = n1 ( z − λ ) , а для N1'' —.число n1'' = n1 ( z + λ ) . Подставляя

значения N '

и N '' в (114.3), получаем:

1

1

M1 =

1

S

dn1

2λm

υ

dz

6

d (mn1 )

Поскольку m—постоянная величина, выражение

m

dn1

можно записать в виде

, что

dz

dz

dc1 . Тогда

представляет собой градиент концентрации

dz

1

dc1

M1 = −

υλ

S

(114.4)

dz

3

Сопоставляя (114.4) с (114.1), получаем газокинетическое выражение для коэффициента

диффузии:

D =

1υλ

(114.5)

3

Из (114.5) вытекает что размерность D равна м2/сек.Проведенные нами рассуждения в равной мере применимы к обеим компонентам смеси. Следовательно, коэффициент диффузии для обеих компонент имеет одинаковое значение.

Сравнивая (114.5) с (112.6), получаем следующую связь между η и D:

η = ρ D

Подставив в (114.5) выражение для υ и λ можно получить, что

D	1		T
	nσ
		m

В отличие от η и x коэффициент диффузии оказывается обратно пропорциональным числу молекул в единице объема, а следовательно, и давлению р:

D ρ1

Зависимость от температуры у D такая же, как у η и x.

Так как мы полагали молекулы обеих компонент одинаковыми по массе и эффективному сечению, (114.5) представляет собой, по существу, выражение для коэффициента самодиффузии, т. е. диффузии молекул некоторого газа в среде молекул того же газа. Явление

288