е. ωх и ωy) будут равны нулю, в результате и составляющие Lx и Ly будут нулями, и мы придем к формуле (43.1).

Таким образом, если в качестве координатных осей выбрать главные оси инерции тела, то связь между векторами ω и L имеет вид:

L = Ixωx + I yωy + Izωz .

(43.2)

Вспомнив, что ωx = ωxi и т. д., последнему выражению можно придать вид:

L = (Ixωx )i + (I yωy ) j+ (Izωz )k,

откуда следует, что связь между проекциями на координатные оси векторов L и ω дается соотношениями:

Lx = Ixωx , Ly = Iyωy , Lz = Izωz .

(43.3)

Еще сложнее оказывается эта связь, когда координатные оси не совпадают с главными осями инерции тела. В этом случае соотношения между проекциями L и ω выглядят следующим образом:

L

= I

ω

+ I

ω

+ I

ω

,

x

xx

x

xy

y

xz

z

Ly = I yxωx + I yyωy + Iyzωz

,

(43.4)

L

= I

zx

ω

x

+ I

zy

ω

y

+ I

zz

ω

.

z

z

Девять величин Iik (i, k=х, у, z) образуют так называемый симметричный1 тензор второго ранга, называемый тензором инерции. Компоненты тензора Iik зависят от выбора координатных осей. Если оси координат совпадают с главными осями инерции тела, все компоненты, кроме Iхх Iyy и Izz, обращаются в нуль и формулы (43.4) переходят в (43.3) [в (43.3) Iхх обозначен через Ix и т. д.].

Заметим, что уравнение (37.11), полученное нами для системы материальных точек, справедливо и для твердого тела. Под L в этом случае следует подразумевать вектор с проекциями на координатные оси, определяемыми формулами (43.4).

В заключение разберем случаи вращения тела вокруг неподвижной оси z, не совпадающей ни с одной из главных осей инерции. Такая ось может быть неподвижной только при действии на нее внешних сил (cм., например, рис. 11З). Момент этих сил относительно оси z равен, очевидно, нулю (направления, вдоль которых действуют силы, проходит через ось), однако момент сил относительно произвольной точки О, лежащей на этой оси, отличен от нуля. По этой причине момент импульса Lz тела относительно оси z остается неизменным

d		Lz = Mz , a	Mz	= 0		, момент же импульса L относительно точки О, который в этом случае
dt

не совпадает по направлению с вектором ω (направленным по оси z), поворачивается вместе с телом в пространстве под действием перпендикулярного к нему момента внешних сил

M	d	L = M ≠ 0 .
dt

§44. Гироскопы

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Ось симметрии является одной из главных осей инерции гироскопа, поэтому момент импульса гироскопа совпадает по направлению с его осью вращения. Для того чтобы изменить направление в пространстве оси гироскопа, необходимо в соответствии с (37.11) подействовать на него моментом внешних сил. При этом наблюдается следующее явление, получившее название гироскопического эффекта: под действием сил,

1 Тензор называется симметричным, если его компоненты удовлетворяют

124

которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг прямой O΄O΄ (рис, 119),

Рис. 119.

ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О"О" (ось ОО и прямая O΄O΄ предполагаются лежащими в плоскости чертежа, а прямая О"О" и силы f1 и f2 — перпендикулярными к этой плоскости).

«Противоестественное» на первый взгляд поведение гироскопа оказывается, как легко видеть, полностью соответствующим законам динамики вращательного движения, т. е. в конечном счете, законам Ньютона. В самом деле, момент сил f1 и f2 направлен вдоль прямой О΄О΄ За время ∆t момент импульса гироскопа L получит приращение ∆L=М∆t, которое имеет такое же направление, как и М. Момент импульса гироскопа спустя время ∆t будет равен результирующей L΄=L+∆L, лежащей в плоскости чертежа. Направление вектора L' совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О"О" причем так, что угол между векторами М и L уменьшается. Если действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил М, то ось гироскопа устанавливается в конце концов так, что ось и направление собственного вращения совпадают с осью и направлением вращения под действием внешних сил (вектор L совпадает по направлению с вектором М).

125

Рис. 120.

Описанное поведение гироскопа положено в основу прибора, называемого гироскопическим компасом (гирокомпасом). Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости (рис. 120). Вследствие суточного вращения Земли гироскопический компас оказывается под действием сил, которые стремятся вовлечь его во вращение вокруг земной оси (подобно тому как силы f1 и f2 на рис. 119 стремятся вовлечь гироскоп во вращение вокруг прямой О΄О΄). В результате ось гироскопа поворачивается так, чтобы угол между вектором момента импульса гироскопа L и вектором угловой скорости Земли ωз уменьшался. Это продолжается до тех пор, пока угол между L и ωз не станет минимальным, т. е. пока ось гироскопа не установится в меридиональной плоскости (в отличие от рассмотренного выше общего случая поворот оси гироскопического компаса ограничен так, что эта ось может располагаться только в горизонтальной плоскости).

Гироскопический компас выгодно отличается от компаса с магнитной стрелкой тем, что в его показания нет необходимости вносить поправки на так называемое магнитное склонение1, а также не приходится принимать мер для компенсации воздействия на стрелку расположенных вблизи от нее ферромагнитных предметов {например, стального корпуса корабля и т. п.). По этой причине в навигации в настоящее время применяются преимущественно гирокомпасы.

Гироскопические силы. При попытках вызвать поворот оси гироскопа заданным образом вследствие гироскопического эффекта возникают гироскопические силы,

1 Магнитным склонением называется угол между магнитным и географическим меридианами.

126

Рис. 121 Рис 122.

действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Например, при принудительном повороте оси гироскопа ОО вокруг прямой О' О' (рис. 121) ось ОО стремится повернуться вокруг прямой О"О". Чтобы предотвратить это вращение, к оси гироскопа должны быть

приложены действующие со стороны подшипников силы f ′ и f ′ . По третьему закону Ньютона
1	2

ось будет действовать на подшипники с силами f1 и f2, которые и являются гироскопическими силами.

С наличием гироскопических сил приходится считаться, например, при конструировании подшипников паровых турбин на кораблях. Ротор турбины представляет собой гироскоп. При килевой (продольной) качке судна происходит принудительный поворот оси турбины вокруг прямой О'О' (рис. 122). Это приводит к возникновению гироскопических сил f1 и f2, обусловливающих дополнительное, подчас значительное, давление оси на подшипники.

Прецессия гироскопа. Особый вид движения гироскопа имеет место в том случае, если момент действующих на гироскоп внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней все время прямой угол. В таких условиях находится, например, гироскоп с осью, вращающейся на шарнире, находящийся в поле сил тяжести (рис, 123).

127

Рис. 123.
Момент внешних сил, приложенных к гироскопу, равен по величине:
M = mgl sinα ,	(44.1)

где m—масса гироскопа, l — расстояние от шарнира до центра инерции гироскопа,α— угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Направлен момент М перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа (на рис. 123 эта плоскость заштрихована).

Под действием момента сил М момент импульса L гироскопа получает за время dt

приращение
dL = Mdt.	(44.2)

совпадающее по направлению с вектором М, т. е. перпендикулярное к вектору L. Изменение, которое претерпевает вектор L, получив приращение dLt соответствует такому повороту оси гироскопа вокруг вертикальной прямой ОО΄, при котором угол α не изменяется. Вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется при этом на угол dφ. Одновременно на такой же угол повернется в горизонтальной плоскости вектор М. В результате спустя время dt будет иметь место такое же взаимное расположение векторов L и М, как и в начальный момент.

За последующий элемент времени dt вектор L получит снова приращение dLt которое будет перпендикулярно к новому (возникшему после «первого» элементарного поворота) значению вектора L, и т. д. В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, проходящей через шарнир О, описывая конус с углом раствора, равным 2α. Вектор L при этом будет изменяться только по направлению, по величине он будет постоянным, так как элементарные приращения dL все время будут перпендикулярны к вектору L

Описанное движение гироскопа называется прецессией и представляет собой движение оси гироскопа под действием внешних сил, происходящее таким образом, что ось описывает конус (в частности, при α=π/2 конус вырождается в плоскость).

Вектор L при прецессии ведет себя подобно вектору скорости при равномерном движении по окружности, В последнем случае элементарное приращение скорости dv все время

128

перпендикулярно к вектору v и равно wdt, где |w| постоянен. В случае гироскопа dL перпендикулярно к вектору L и равно М dt, где |М| постоянен.

Угловая скорость вращения плоскости, проходящей через ось конуса и ось гироскопа, называется скоростью прецессии. Угловая скорость прецессии, очевидно, равна

ω′ = ddtϕ ,

где dφ — угол, на который повернется указанная плоскость за время dt Этот угол может быть представлен как отношение |dL| к L sin α (см. рис, 123, начало вектора L предполагается совмещенным с шарниром О):

			dϕ =				dL		.		(44.3)
						L sinα
В соответствии с (44.2) и (44.1)
	dL		= Mdt = mgl sinα dt.
Подставляя в (44.3) это выражение и заменяя L через Iω, получим:
dϕ = mgl sinα dt = mgl dt.
				Iω sinα						Iω
Отсюда угловая скорость прецессии
				′	dϕ		mgl
			ω		= dt		= Iω			.	(44.4)

Из (44.4) следует, что скорость прецессии не зависит от угла наклона оси гироскопа по отношению к горизонту.

Поскольку момент импульса Iω обычно велик, скорость прецессии ω΄ бывает мала, причем ω' тем меньше, чем больше ω. С уменьшением угловой скорости вращения гироскопа ω скорость прецессии ω' возрастает.

Следует иметь в виду, что в случае прецессии момент импульса гироскопа не совпадает с его осью симметрии, так как движение гироскопа представляет собой сумму двух вращений — вращения вокруг оси симметрии с угловой скоростью ω и вращения вокруг вертикальной оси с угловой скоростью прецессии ω'. Результирующая угловая скорость будет равна ω+ω' (рис. 124). Однако, поскольку ω΄<<ω, можно приближенно считать, чтоω + ω′ ≈ ω и L=Iω. При выводе формулы (44.4) для угловой скорости прецессии мы пользовались этим приближением.

Рис. 124.

129