Рис. 322.

Буквой h обозначена высота иглы над дном сосуда; h0 — высота поверхности жидкости над уровнем дна. Зависимость от h потенциальной энергии иглы в поле земного тяготения EТЯГ имеет вид прямой, проходящей через начало координат. Полная энергия, равная сумме EПОВ и EТЯГ имеет минимум при h=h0, что и дает возможность игле плавать на поверхности воды. Если, нажав на иглу, погрузить ее на такую глубину, чтобы полная энергия прошла через максимум и стала уменьшаться, то игла дальше будет погружаться сама и утонет.

Аналогично объясняется возможность «носить воду в решете» + Если вода не смачивает решето (этого можно добиться, покрыв нити, из которых сплетено решето, парафином) и слой воды не очень велик, то небольшое перемещение уровня жидкости вниз (рис. 323) будет сопровождаться увеличением поверхностной энергии, превосходящим по величине уменьшение энергии в поле сил тяготения.

Рис. 323.

Поэтому вода будет удерживаться

§146. Капиллярные явления

Существование краевого угла приводит к тому, что вблизи стенок сосуда наблюдается искривление поверхности жидкости. В узкой трубке (капилляре1) или в узком зазоре между двумя стенками искривленной оказывается вся поверхность. Если жидкость смачивает стенки, поверхность имеет вогнутую форму, если не смачивает — выпуклую (рис. 324).

1 Лат, capilfus означает волос. Капилляр — «трубка, тонкая, как волос».

355

Рис. 324.

Такого рода изогнутые поверхности жидкости называются менисками.

Если капилляр погрузить одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то под искривленной поверхностью в капилляре давление будет отличаться от давления под плоской поверхностью в широком сосуде на величину p, определяемую формулой (144.4). В результате при смачивании капилляра уровень жидкости в нем будет выше, чем в сосуде, при несмачивании — ниже.

Изменение высоты уровня жидкости в узких трубках или зазорах получило название капиллярности. В широком смысле под капиллярными явлениями понимают все явления, обусловленные существованием поверхностного натяжения. В частности, обусловленное поверхностным натяжением давление (144.4) называют, как уже отмечалось, капиллярным давлением.

Между жидкостью в капилляре и широком сосуде устанавливается такая разность уровней h, чтобы гидростатическое давление pgh уравновешивало капиллярное давление p:

pgh =	2α	(146.1)
	R

В этой формуле α — поверхностное натяжение на границе жидкость — газ, R — радиус кривизны мениска.

Радиус кривизны мениска R можно выразить через краевой угол ϑ и радиус капилляра r. В самом деле, из рис. 324 видно, что R = rcosϑ . Подставив это значение в (146.1) и разрешив получившееся уравнение относительно h, приходим к формуле

h =	2α cosϑ	.	(146.2)
	pgr

В соответствии с тем, что смачивающая жидкость поднимается по капилляру, а несмачивающая— опускается, формула (146.2) дает в случае ϑ < π 2 (cosϑ > 0) положительные h и в случае ϑ > π 2 (cosϑ < 0) отрицательные h.

При выводе выражения. (146.2) мы предполагали, что форма мениска является сферической. Формулу для h можно получить также на основании энергетических соображений, причем не возникает необходимости делать какие-либо специальные предположения о форме мениска.

Равновесное положение мениска будет соответствовать минимуму потенциальной энергии Ep системы жидкость — капилляр. Эта энергия складывается из поверхностной энергии на

356

границах жидкость — стенка, жидкость — газ и стенка — газ, а также из потенциальной энергии жидкости в поле земного тяготения.

Найдем приращение энергии Ep соответствующее небольшому приращению высоты поднятия жидкости в капилляре h. При возрастании высоты на h поверхность

соприкосновения жидкости со стенкой капилляра увеличивается на 2πr h, вследствие чего энергия получает приращение, равное 2πr hαT1ж.

Рис. 325.

Одновременно уменьшается поверхность соприкосновения стенки с газом, что сопровождается приращением энергии, равным− 2πr hαT1r . Потенциальная энергия в поле земного тяготения получает приращение, равное весу заштрихованного объема жидкости (рис. 325),

умноженному на h, т. е. равное gpπr2h h. Изменением уровня жидкости в широком сосуде можно пренебречь. Таким образом,

Отсюда следует, что

	dEp	= 2πr(αT ж			− αT r )	+ πr2 pgh.
	dh
			1		1
Приравняв эту производную нулю, мы получим условие равновесия, из которого вытекает,
что
		h =		2(αT r − αT ж )
			1		1		(146.3)
					pgr
Однако в соответствии с (Н5.2) αT r			− αT ж = α ж r cosϑ . Подставив это значение в
(146,3) и обозначив α ж r просто		1	1			1
		α , получим формулу (146.2).
1

В узком зазоре между погруженными в жидкость параллельными пластинками мениск будет
иметь цилиндрическую форму с радиусом кривизны R = (d 2)cosϑ (d — зазор между
пластинками). Капиллярное давление в этом случае согласно (144.5) равно α	= 2α cosϑ	. Из
R	d

условия

2α cosϑ = pgh d

получаем, что

357