Теперь выделим отвердевший цилиндрический объем жидкости таким образом, чтобы его ось была вертикальна (рис. 138). В этом случае вдоль оси цилиндра, кроме сил давления на основания, будет действовать также объемная сила pgh S (p — плотность жидкости, h — высота цилиндра) и условие равновесия имеет вид

p2 S = p1 S + ρ gh S

Сокращая на S, имеем:

p2 = p1 + ρ gh

(52.1)

Таким образом, давления на двух разных уровнях отличаются на величину, численно равную весу вертикального столба жидкости, заключенного между этими уровнями, с площадью сечения, равной единице.

§53. Выталкивающая сила

Следствием неодинаковости давлений на разных уровнях является наличие выталкивающей силы (силы Архимеда), действующей на тела, находящиеся в жидкости или газе. Чтобы найти величину и направление выталкивающей силы, заменим тело отвердевшим объемом

Рис 139.

Рис. 140.

жидкости (газа). Поскольку этот объем будет находиться в равновесии, сила его веса должна уравновешиваться равнодействующей всех сил давления, действующих на его поверхность. Такие же поверхностные силы действуют и на само тело, и их равнодействующая дает выталкивающую силу.

Из сказанного следует, что выталкивающая сила равна весу жидкости в объеме тела и действует вверх по вертикали. Отвердевший объем остается в равновесии при любых его ориентациях (состояние безразличного равновесия). Следовательно, точка приложения выталкивающей силы совпадает с центром тяжести объема тела. Центр тяжести самого тела совпадает с центром тяжести объема лишь в том случае, если плотность тела во всех точках одинакова. В противном случае они могут не совпадать. Для примера возьмем шар, сложенный из свинцовой и деревянной половинок (рис. 139). Выталкивающая сила будет приложена к центру шара точка же приложения силы тяжести смещена в сторону свинцовой половины.

Если средняя плотность тела меньше, чем плотность жидкости, то в состоянии равновесия тело будет погружено в жидкость только частично. При этом сила тяжести (приложенная к центру тяжести тела) и выталкивающая сила (приложенная к центру тяжести погруженной в жидкость части объема тела) должны быть равны по величине и действовать вдоль одной и той прямой (рис. 140), иначе они создадут вращательный момент и равновесие будет нарушено.

Глава VIII. Гидродинамика

§54. Линии и трубки тока. Неразрывность струи

Чтобы описать движение жидкости, можно задать траекторию и скорость в функции от времени для каждой частицы жидкости. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но

146

можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, отмечать скорость, с которой проходят через каждую данную точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени. Совокупность векторов v, данных для всех точек пространства, образует называемое поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим разом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором (рис. 141). Эти линии называются линиями тока.

Рис. 141.

Условимся проводить линии тока так, чтобы густота их (которая характеризуется отношением числа линий N к величине перпендикулярной к ним площадки через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине вектора v в разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще и, наоборот, где скорость меньше, линии тока будут реже.

Поскольку величина и направление вектора v в каждой точке могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если вектор скорости в каждой точке пространства остается постоянным, то течение называется установившимся, или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением v. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор v, будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным и к поверхности трубки тока; следовательно, частицы жидкости при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока 5 (рис. 142). Предположим, что скорость движения частиц жидкости одинакова во всех

Рис. 142. Рис. 143

точках этого сечения. За время t через сечение S пройдут все частицы, расстояние которых от S в начальный момент не превышает значения υ t , Следовательно, за время t через сечение S пройдет объем жидкости, равный Sυ t , а за единицу времени через сечение S пройдет объем

147

жидкости, равныйSυ . Возьмем трубку тока, настолько тонкую, что в каждом ее сечении скорость можно считать постоянной. Если жидкость несжимаема (т. е. плотность ее всюду одинакова и изменяться не может), то количество жидкости между сечениями S1 и S2 (рис. 143) будет оставаться неизменным. Отсюда следует, что объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сечения S1 и S2, должны быть одинаковы:

S1υ1 = S2υ2

(напомним, что через боковую поверхность трубки тока частицы жидкости не проходят).

Приведенное выше рассуждение применимо к любой паре сечений S1 и S2. Следовательно,

для несжимаемой жидкости величина Sυ в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

Sυ = const

(54.1)

Полученный нами результат представляет собой содержание теоремы о неразрывности струн.

Из (54.1) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. В горизонтальной трубке тока (рис. 144) это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль оси трубки — в местах, где скорость меньше, давление должно быть больше, и наоборот. Количественная связь между скоростью течения и давлением будет установлена в следующем параграфе.

Теорема о неразрывности струи применима к реальным жидкостям и даже к газам в том случае, когда сжимаемостью их можно пренебречь. Соответствующий расчет показывает, что при движении жидкостей и газов со скоростями, меньшими скорости звука, их с достаточной степенью точности можно считать несжимаемыми.

Рис. 144

§55. Уравнение Бернулли

Рассматривая движение жидкостей, во многих случаях можно считать, что перемещение одних частей жидкости относительно других не связано с возникновением сил трения. Жидкость в которой внутреннее трение (вязкость) полностью отсутствует, называется идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока малого сечения (рис. 145). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями S1 и S2. За время t этот объем переместится вдоль трубки тока,

148

Рис. 145

причем сечение S1 переместится в положение S’1 пройдя путь l1 сечение S2 переместится в положение S’2 пройдя путь l2.В силу неразрывности струи заштрихованные объемы будут иметь одинаковую величину: V1= V2= V.

Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии в поле сил земного тяготения. Вследствие стационарности течения частица, находящаяся спустя время t в любой из точек незаштрихованной части рассматриваемого объема (см., например, точку О на рис. 145), имеет такую же скорость (а следовательно, и кинетическую энергию), какую имела частица, находившаяся в той же точке в начальный момент времени. Поэтому приращение энергии E всего рассматриваемого объема можно вычислить как разность энергий заштрихованных объемчиков V1 и V2.

Возьмем сечение трубки тока и отрезки l настолько малыми, чтобы всем точкам каждого из заштрихованных объемчиков можно было приписать одно и то же значение скорости υ

давления ρ и высоты h. Тогда приращение энергии запишется следующим образом:

		ρ Vυ 2					ρ Vυ 2
	E =	2	+ ρ	Vgh2		−	1	+ ρ	Vgh1
		2					2

( ρ - плотность жидкости).

В идеальной жидкости силы трения отсутствуют. Поэтому приращение энергии (55.1) должно равняться работе, совершаемой над выделенным объемом силами давления. Силы давления на боковую поверхность перпендикулярны в каждой точке к направлению перемещения частиц, к которым они приложены, вследствие чего работы не совершают. Отлична от нуля лишь работа сил, приложенных к сечениям S1 и S2, Эта работа равна

A = ρ1S1 l1 = ρ2S2 l2 = (ρ1 − ρ2 ) V

(55.1)

(55.2)

Приравнивая выражения (55.1) и (55.2), сокращая на V и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим:

ρυ 2	+ ρ gh1 + p1 =	ρυ 2	+ ρ gh2 + p2	(55.3)
1		2
2		2

149

Сечения S1 и S2 были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в

ρυ 2	+ ρ gh + p
любом сечении трубки тока выражение — 2	имеет одинаковое значение. В

соответствии со сделанными нами при его выводе предположениями уравнение (55.3) становится вполне точным лишь при стремлении поперечного сечения S к нулю, т. е. при

стягивании трубки тока в линию. Таким образом, величины p ,υ и h, фигурирующие в левой и правой частях уравнения (55.3), следует рассматривать как относящиеся к двум произвольным точкам одной и тон же линии тока.

Полученный нами результат можно сформулировать следующим образом: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

	ρυ 2	+ ρ gh + p = const	(55.4)
	2

Уравнение (55.4) или равнозначное ему уравнение (55.3) называется уравнением Бернулли, Несмотря на то, что это уравнение было получено нами для идеальной жидкости, оно достаточно хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых не очень велико.

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из уравнения Бернулли. Пусть жидкость течет так, что скорость имеет во всех точках одинаковую величину. Тогда согласно (55.3) для двух произвольных точек любой линии тока будет выполняться равенство

p1 − p2 = ρ g (h1 − h2 )

откуда следует, что распределение давления в этом случае будет таким же, как в покоящейся жидкости [см. (52.1)].

Для горизонтальной линии тока условие (55.3) принимает вид

ρυ 2		=	ρυ 2
1 + p			2 + p
2	1		2	2

т. е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше (качественно это уже было показано в предыдущем параграфе).

Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу устройства водоструйного насоса (рис. 146). Струя воды подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе из трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большей скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубки. Подсоединяя к камере насоса откачиваемый объем, из него можно откачать воздух (или какойлибо другой газ) до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей воды и уносится в атмосферу.

150

Рис. 146

Применим уравнение Бернулли к случаю истечения жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде. Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим сечением с одной стороны открытую поверхность жидкости в сосуде, а с другой стороны – отверстие

Рис. 147

через которое жидкость вытекает1 (рис. 147). В каждом из этих сечений скорость и высоту над некоторым исходным уровнем можно считать одинаковыми, вследствие чего к ним можно применить уравнение (55.3), полученное при этом предположении. Далее, давления в обоих сечениях равны атмосферному и поэтому одинаковы. Кроме того, скорость перемещения открытой поверхности в широком сосуде можно положить равной нулю, С учетом всего сказанного, уравнение (55.3) применительно к данному случаю можно написать в виде

1 Точнее, сечение струи при выходе из отверстия. Если не принять специальных мер, то сечение струи будет меньше отверстия.

151