Часть 11

Критерий Коши существования предела функции

1Критерий Коши

Будем говорить, что ( ) удовлетворяет условию Коши в точке , если:

> 0 > 0 : ′, ′′ E : 0 < | ′ − | < 0 < | ′′ − | < | ( ′) − ( ′′)| < .

На обыденном языке это значит, что всегда найдется такая окрестность на множестве E, что значения функции на этой окрестности могут быть сколь угодно близки.

Теорема 11.1. lim ( ) ( ) удовлетворяет условию Коши.

→

Доказательство.

Необходимость.

lim ( ) = > 0 ( ) > 0 : ′, ′′ E ∩ U′ ( ) | ( ′) − | < 2 , | ( ′′) − | < 2 .

→

Тогда | ( ′) − ( ′′)| 6 | ( ′) − | + | − ( ′′)| < .

Достаточность.

Дана функция, удовлетворяющая условию Коши, и требуется доказать ее сходимость.

Независимо от сходимости самой ( ), существуют такие последовательности { }, которые сходятся к числу (это определение предельной точки), при этом ни один ̸= . Покажем, что для такой последовательности соответствующая ей { ( )} сходится к . В условии Коши для любого выберем и используем как выбранный разброс значений для предельных значений последовательности { }. Т.е. для этого выбранного( ) N : > 0 < | − | < . Пусть — некоторое натуральное число. Тогда

тем паче > 0 < | + − | < .

В итоге, для >

0 < | + − | < и 0 < | − | < , откуда по условию Коши

|

( + )

−

|

{

( )

}

— фундаментальна. Пусть

{

( )

} −−−→

. Итак, для всех

( )

<

→∞

{ }, сходящихся к , соответствующая последовательность { ( )} сходится. Осталось показать, что все они сходятся к одному и тому же числу.

Докажем от противного: нашлась такая { ′ }, сходящаяся к , что { ( ′ )} → ′. Рассмотрим последовательность { } = 1, ′1, 2, ′2, 3, ′3 . . . . Ясно, что она сходится к (действительно, докажем это, пользуясь определением предела последовательности: для выбранного найдем номер для { } и ′ для { ′ }, что > max{ , ′} | − | < и | ′ − | < | − | < ). Тогда по ранее доказанному последовательность { ( )} сходится. Но мы предположили, что у нее есть уже два неравных частичных предела. Получили противоречие.

[:|||||:]

35