Часть 37

Первообразная функция и неопределенный интеграл III

Сейчас мы докажем интегрируемость в элементарных функциях некоторых классов функций. Во всех доказательствах будет использоваться рационализация интегралов. А именно мы будем сводить интегрирование заданного выражения к интегрированию рациональной дроби, что по теореме 36.7 можно сделать в элементарных функциях. Запись ( 1, . . . , ) обозначает некоторое выражение, составленное с помощью арифметических операций над 1, . . . , .

1Некоторые тригонометрические выражения

Пусть необходимо вычислить следующий интеграл:

∫

(sin , cos ) .

Для этого воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:

= tg					= 2 arctg ,
		2
=	2						,
					2
	1 +														2 sin cos									2 tg
																														2
sin = 2 sin								cos				=						2	2		=			2				=			,
																	2		2							2			2
					2				2														1 + tg
															cos			2 + sin	2								2		1 +
cos = cos2								−	sin2						=	1 − tg2 2			=			1 − 2			.
																1 + tg2 2
2												2										1 + 2

Тем самым задача свелась к нахождению интеграла рациональной дроби:

			2	,	1 − 2	2	.
		(	1 + 2		1 + 2 ) ·	1 + 2
	∫

Однако следует отметить, что несмотря на универсальность этой подстановки, использовать ее стоит только в крайнем случае, поскольку получаемая рациональная дробь чаще всего оказывается слишком громоздкой.

2Дробно-линейные иррациональности

Теперь задача состоит в нахождении интеграла вида

∫	( ,	√		+	)	, причем − ̸= 0.
				+

107

Сделаем подстановку:

= √			+		= + ( + ) = + ,
			+			+
=	−			,
	−
=	−1( − ) + ( − ) · −1						=	( − ) · −1	.
					( − )2			( − )2

И снова задача сведена к интегрированию рациональной дроби:

	(			,	( − ) · −1	.
		−	−
∫				) ·	( − )2

3Квадратичные иррациональности

Наконец, докажем интегрируемость в элементарных функциях следующего выражения:

∫ √

( , 2 + + ) .

Здесь уже необходимо рассмотреть несколько случаев:

При любых верно, что 2 + + > 0. Из этого вытекает, что > 0. Чтобы справиться с этим случаем, воспользуемся первой подстановкой Эйлера:

√

= + √

,

2 + +

+ = 2 + 2 √

2 −

,

=

−

2 √

√

2

√

=

2 ( − 2

) + (

− ) · 2

,

√

( − 2 √ )2

2 −

√

.

2 + +

= +

− 2 √

·

Тогда получаем интеграл от рациональной дроби:

(

2 −

2 −

√

2 ( − 2 √

) + ( 2 − ) · 2√

, +

.

∫

− 2 √

− 2 √ ·

)

·

( − 2 √ )2

2 + + = ( − 1)( − 2), причем 1 ̸= 2. Иными словами, многочлен 2 + + имеет два различных действительных корня. В этом случае на помощь приходит вторая

подстановка Эйлера:

√					= ( − 1),
	2 + +
( − 1)( − 2) = 2( − 1)2,													2 − 2 1
	(	−		) = 2(			−		)		=							,
			2					1						−	2
										2						2
			=			−2 1( −					) + 2 ( 2 −					1)			,
										( − 2)2
											(			2								2	) =
√ 2 + + = ( − 1) =																				+
												2 − 1				−	1				1			(	2 −	1)	.
																−	2								2
																									−

108