Формулу 1 также можно записать в виде

( ) = ( ) + .

( ( )) ( ) =

∫

∫

Предположим теперь, что функция ( ) монотонна

на

[ , ]. Тогда −1( )

на [ , ] =

([ , ]), а значит справедлива следующая формула замены переменной:

.

( ) =

( ( )) ′( ) = −1( )

∫

∫

А теперь рассмотрим пару примеров.

Здесь R.

1

2

1

( 2 + 2)

1

1

∫

=

∫

=

∫

= { 2 + 2

= } =

∫

=

ln

| | + =

2 + 2

2

2 + 2

2

2 + 2

2

2

1

1

=

ln

| 2 + 2| + =

ln( 2

+ 2) + .

2

2

∫ √

Попробуем теперь вычислить 1 − 2 . Зоркий глаз сразу заметит сходство подкоренного выражения с основным тригонометрическим тождеством, чем мы и воспользуемся:

∫ √1 − 2 =

{

1 − 2 = cos2

} = ∫

| cos | cos =

= sin

= cos

∫ 1 +

= {т.к. 1 − sin2 > 0} = ∫

cos2 =

2

=

cos 2

=

2

( +

2 sin 2 ) + = 2

(arcsin + √1 − 2)

+ .

1

1

1

Часть 36

Первообразная функция и неопределенный интеграл II

1Разложение многочлена на множители

Вдальнейшем нам часто придется иметь дело с многочленами, поэтому вкратце вспомним основные моменты по этой теме из курса линейной алгебры.

1.1 Комплексные числа

Комплексным числом называется число вида = + , где , R, а 2 = −1. Вспомним некоторые свойства этих чисел:

1 = 1 + 1 = 2 = 2 + 2 1 = 2 и 1 = 2.

= + = − — комплексное сопряжение.

102

= , 1 ± 2 = 1 ± 2 и 1 2 = 1 · 2.

= ( + )( − ) = 2 + 2 = | |2.

1 ± 2 = 1 ± 2 + ( 1 ± 2).

1 · 2 = 1 2 − 1 2 + ( 1 2 + 2 1).

	1	=	1 + 1	=	( 1 + 1)( 2 − 2)	=	1 2 + 1 2		+	( 2 1 − 1 2)	.
					22 + 22			22 + 22
	2		2 + 2							22 + 22

1.2 Разложение многочлена на множители

Многочленом -ой степени ( ) называется выражение ( ) = 0 + 1 + · · · + , где

, C и ̸= 0. Корнем многочлена ( ) называется такое 0 C, что ( 0) = 0. Делением

( ) на − называется представление в виде ( ) = ( − ) −1( )+ , где −1 — многочлен

степени − 1, а — остаток.
Теорема 36.1 (Теорема Безу). Число 0	является корнем ( ) т.и.т.т., когда ( ) =
( − 0) −1( ), т.е. = 0.
Доказательство. ( ) = ( − 0) −1( ) + . ( 0) = 0 = 0 + = 0.		[:|||||:]

Назовем 0 корнем кратности , если ( ) = ( − 0) − ( ), но ( ) ̸= ( − 0) +1 ̃ − −1( ). Если кратность корня равна 1, то такой корень называется простым.

Теорема 36.2 (Основная теорема алгебры). У многочлена ( ) ̸= всегда есть хотя бы один корень над полем комплексных чисел.

Из этой теоремы и теоремы Безу моментально следует, что	( ) = ( − 1)	1	,
			·. . .·( − )

∑

где = .

=1

В дальнейшем будем считать, что все упоминаемые многочлены имеют вещественные коэффициенты, если иное не оговорено явно.

Лемма 36.3. Пусть 0 = + , где ̸= 0 — корень уравнения ( ) = 0 кратности . Тогда число 0 = − также является корнем того же уравнения той же кратности.

Доказательство. Пусть ( ) = 0 + · · · + . Вычислим ( 0):

( 0) = 0 + 1 0 + · · · + 0 = 0 + 1 0 + · · · + 0 = 0 + · · · + 0 = ( 0) = 0 = 0.

[:|||||:]

Учитывая, что 0 и 0 — корни ( ), разложим этот многочлен по теореме Безу:

( ) = ( − − )( − + ) −2( ) = (( − )2 + 2) −2( ) = ( 2 − 2 + 2 + 2) −2( ).

Найдем дискриминант последнего трехчлена: = 2 − 2 − 2 = − 2 < 0. Таким образом, многочлен представляется в виде ( ) = ( 2 + + ) −2( ). Наконец, выпишем окончатель-

нет вещ. корней

ное разложение многочлена на множители, которым и будем в дальнейшем пользоваться:

( ) = ( − 1) 1 ( − 2) 2 . . . ( − ) ( 2 + 1 + 1) 1 . . . ( 2 + + ) , причем

∑ ∑

+ 2	= .
=1	=1

103