Следствие 39.4. Пусть ( ) кусочно-непрерывна на отрезке [ , ], т.е. существует разбиение { } =0 такое, что

( ) непрерывна на ( −1, ).

( − 0) и ( + 0) для всех (для точек и должен существовать один соответствующий односторонний предел).

Тогда ( ) R[ , ].

Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок разбиения [ −1, ]. В крайних точках этого отрезка существуют односторонние пределы, тогда по теореме 13.1 (а точнее, по ее следствию для односторонних пределов) ( ) ограничена в некоторой -окрестности этих точек.( ) непрерывна на [ −1 + , − ], а значит по первой теореме Вейерштрасса она ограничена на нем. Т.е. ( ) ограничена на [ −1, −1 + ), [ −1 + , − ] и ( − , ], поэтому она

ограничена на [ −1, ].	отрезке [ −1, ]. Но тогда она
Тогда по предыдущему следствию ( ) интегрируема на
интегрируема и на всем отрезке [ , ].	[:|||||:]

3 Свойства интегрируемых функций

3.1 Безымянное свойство

Теорема 39.5. Если ( ) R[ , ] и [ *, *] [ , ], то ( ) R[ *, *].

Доказательство. Пусть * — произвольное разбиение [ *, *]. Дополним его произвольным образом до разбиения всего отрезка [ , ]. Тогда, очевидно, выполняется

*
∑*		∑
*( )Δ * 6		( )Δ < .
=1		=1
					[:|||||:]
Будем считать по определению, что ∫	( ) = − ∫		( ) и	∫	( ) = 0.

3.2 Аддитивность

Теорема 39.6. Пусть ( ) R[ , ] и ( ) R[ , ]. Тогда ( ) R[ , ], причем

∫

( ) = ∫

( ) + ∫

( ) .

{

}

Доказательство.

Пусть

— произвольное разбиение

[ , ], а

=

.

Пусть

и

′

′′ —

разбиения отрезков [ , ] и [ , ], соответствующие разбиению (т.е. составленные из тех же

точек). Рассмотрим теперь ( ), ′( ) и ′′( ).

Точки			в ( ) выберем произвольным образом, а	в ′( ) и ′′( ) выберем в качестве
соответствующие точки из ( ). Теперь рассмотрим 2				случая.
		.
			В этом случае, очевидно, ( ) = ′( ) + ′′( ), что и требовалось доказать.

114

/ . Предположим, что ( 0−1, 0 ). Тогда

| ( ) − ′( ) − ′′( )| = | ( 0 )Δ 0 − ( ′0 )( − 0−1) − ( ′′0 )( 0 − )| 6 6 | ( 0 )Δ 0 | + | ( ′0 )( − 0−1)| + | ( ′′0 )( 0 − )|.

Для любого выполняется ( ) 6 , т.к. функция ( ) ввиду интегрируемости на отрезках [ , ] и [ , ] ограничена на них. Все слагаемые неотрицательны, значит можно раскрыть модули

| ( 0 )Δ 0 | + | ( ′0 )( − 0−1)| + | ( ′′0 )( 0 − )| 6 0 + 0 = 2 0 6 2 = .

[:|||||:]

3.3 Линейность интеграла

Теорема 39.7. Пусть ( ), ( ) R[ , ], , R. Тогда ( ( ) ± ( )) R[ , ], причем

∫	( ( ) ± ( )) = ∫	( ) ± ∫	( ) .

Доказательство.

∫

)±

∑

( ( )

±

(

))Δ

= lim

∑

±

∑

(

(

(

))

=

→

0

→

0

(

)Δ

→

0

(

)Δ

=

=1

=1

=1

= ∫

( ) ± ∫

( ) .

[:|||||:]

3.4 Интегрируемость произведения

Теорема 39.8. Если ( ), ( ) R[ , ], то ( ( ) · ( )) R[ , ].

Доказательство. Рассмотрим приращение функции · :
|Δ( · )| = | ( +	) ( + ) − ( ) ( ) + ( + ) ( ) − ( +		) ( )| =
= | ( + )( ( +	) − ( )) + ( )( ( +	) − ( ))| = | ( +	)Δ ( ) + ( )Δ ( )| 6
	6 | ( + )| · |	( )| + | ( )| · | ( )| 6 | ( )| + |		( )|.

Здесь, как и в теореме 39.6, мы воспользовались ограниченностью ( ) и ( ). Заметим, что

( ) = sup | ( ′) ( ′) − ( ′′) ( ′′)| = sup |Δ( )|. Таким образом, ( ) 6 ( ) + ( ). Тогда

∑	∑	∑
( )Δ 6	( )Δ +	( )Δ < ′ + ′′ = .
=1	=1	=1

[:|||||:]

115

3.5 Неотрицательность определенного интеграла

Теорема 39.9. Пусть ( ), ( ) R[ , ], причем [ , ] ( ) 6 ( ). Тогда справедливо

∫ ∫

( ) 6 ( ) .

Доказательство. Идея доказательства аналогична таковой в теореме 39.7. Точно так же вос-

пользуемся предельным переходом.		[:|||||:]
Следствие 39.10. Если ( ) R[ , ] и ( ) > 0	на [ , ], то ∫	( ) > 0.

3.6 Интегрируемость модуля

Теорема 39.11. Если ( ) R[ , ], то и | ( )| R[ , ], причем

∫ ∫

	( ) 6	| ( )| .

Доказательство. Воспользуемся тем, что | ( ′)| − | ( ′′)| 6 | ( ′) − ( ′′)|, т.е. (| |) 6 ( ). Но тогда

∑	∑
(| |)Δ 6	( )Δ < .
=1	=1

Значит, | ( )| R[ , ]. Также можно записать, что

| ( , )| =	∑	( )Δ		6 ∑	| ( )|	= (| |, ).

=1

=1

[:|||||:]

Следует заметить, что обратное неверно! В качестве примера можно привести небольшую модификацию функции Дирихле

{

̃( ) = 1, Q,

−1, R Q.

Очевидно, что | ̃( )| = 1, т.е. | ̃( )| R[ , ]. Но при этом для любого отрезка ̃( ) /

R[ , ].

3.7 Ну и еще два свойства

Теорема 39.12. Пусть ( ) R[ , ]

Тогда *( ) R[ , ], причем

∫

и *( ) отлична от ( ) в конечном числе ( ) точек.

*( ) = ∫
	( ) .

116