Теперь, подставляя = 1:

	+∞	−		1
	(1) = ∫0		sin = arctg		.

Дополнительные примеры читатель может найти по ссылке.

Вопросы для самопроверки перед коллоквиумом

Здесь приведены вопросы, которые проверяют базовые знания по математическому анализу и иногда его понимание. Рекомендуется уметь отвечать на большую часть из них. Они никак не ранжированы по сложности и по порядку.

1. Рассмотрим функцию ( ) = sgn на [−1, 1]. Где ошибка в следующих рассуждениях? Функция ( ) = sgn интегрируема на [−1, 0], т.к. по критерию интегрируемости

			∑		∑	6
> 0 =		: , <		( )Δ = 0 +	( )Δ =			< .
	2		=1				2
					=

Аналогично можно показать, что ( ) интегрируема на [0, 1]. Тогда ( ) интегрируема на

[−1, 1].

С другой стороны, рассмотрим разбиение = { } =0, где = −1 + 2 (деление отрезка [−1, 1] на равных частей) для таких , что 0 ̸= . Пусть 0 ( −1, ). Поскольку

( ) R[−1, 1], сумма

∑

( , ) = ( )Δ

=1

должна быть одинаковой для любых [ −1, ] по определению определенного интеграла. Но, учитывая выбор , получаем:

( , ) = ( )Δ =	,	< 0,
−	,	> 0,
0,		= 0.

А это означает, что ( ) / R[−1, 1].

2.Приведите пример неограниченной числовой последовательности, не являющейся бесконечно большой.

3.Существует ли инфимум у множества рациональных чисел на полуинтервале (0, 1]?

4.Докажите, что ( ) = +1 и ( ) = асимптотически равны при → 0.

5.Приведите пример функции, дифференцируемой непрерывно в точке лишь конечное (но ненулевое) число раз.

140

6.Рассмотрим дифференцируемую на [ , ] функцию ( ), такую что > 0 (( )) < 1 + .

Верно ли, что после поворота системы координат на 2 существует такая точка , что

| ′( )| 6 1?

7.Постройте функцию, предел которой в некоторой точке до «лопитирования» существует, а после нет.

8.Приведите функцию ( ) и точку , такие что ( ) определена в U( ), и lim ( ) ̸= ( ).

→

9. Приведите такие бесконечно малые числовые последовательности { } и { }, что последовательность

	{		}	является бесконечно малой.
	{		}	не является бесконечно малой.

10. Найдите ошибку в рассуждениях:

( ) = cos , ( ) = ln ,

( ) = ln cos = −cossin 2 = −cos12 2,

= − sin , = 1 2 = − 12 2 = −cos12 · sin2 2.

11. Рассмотрим строго убывающую на [ , ] функцию ( ). Докажите, что множество ее точек разрыва II рода конечно.

12. Верно ли, что для любой положительной сходящейся последовательности { } найдется такая нестрого монотонная последовательность { }, что lim ( − ) > 0. Если нет,

→∞

приведите контрпример.

13.Предположим, что ( ) трижды дифференцируема в U( 0) и ′′( 0) = 0, а ′′′( 0) ̸= 0. Всегда ли точка 0 является точкой перегиба?

14.Верно ли, что если равномерно непрерывная и дифференцируемая на [ , ] функция ( ) ↑, то ′( ) > 0?

15.Существует ли сходящаяся подпоследовательность последовательности, составленной из частичных пределов фундаментальной последовательности?

16.Верно ли, что 0, 99999... = 1? Ответ обоснуйте.

17.Монотонная на ( , ) функция принимает все промежуточные значения интервала ( ( ), ( )). Является ли она непрерывной?

18.Рассмотрим дифференцируемую на ( , ) функцию ( ). Утверждается, что всегда существует точка на ( , ), касательная в которой будет параллельна хорде, соединяющей ( , ( )) и ( , ( )). Докажите или опровергните.

19.Верно ли, что если выполняется > 0 ( ) : 0 < | − 0| < ( ) > 0, то ( ) непрерывна в 0?

141

20.Приведите пример функции = ( ), множество значений односторонних производных справа которой изоморфно множеству значений односторонних производных слева функции = −1( ).

21.Приведите пример функции, имеющей экстремум в точке, около которой производная функции не имеет определенного знака.

22.Приведите пример разрывной функции, достигающей своей точной верхней и нижней граней на [ , ], или докажите, что это невозможно.

∞	(	1	)		(	1	)	+1
								)?
23. Существует ли точка, принадлежащая системе =1	(	1 +			, 1 +

24.Пусть функция ( ) равномерно непрерывна на ( , ) и непрерывна в справа и в слева. Является ли она равномерно непрерывной на [ , ]?

25.Верно ли, что если непрерывная функция ( ) имеет наклонную асимптоту при → +∞, то > 0 : ( ) равномерно непрерывна на [ , +∞)?

26.Верно ли, что множество, составленное из мощностей множеств, над которыми образованы упорядоченные и непрерывные поля, не более, чем счетно?

27.Приведите пример неквадрируемой фигуры и докажите, что она не квадрируема.

28.Приведите такие дифференцируемые на [ , ] функции ( ) и ( ), что

∫							− ∫
	( ) ′( ) ̸= ( ) ( )							′( ) ( ) .
29. Верно ли, что если
		lim	(	, . . . ,		) = <			∞	,
		1→ 1	1

...

→

причем 1, . . . , < ∞, то

lim ( + 1, . . . , + ) = ?

→0

30.Приведите пример неинтегрируемой на [ , ] функции, модуль которой интегрируем на

[ , ].

31.Верно ли, что

2

,

< −1,

24

+ ,

< −1,

∫

3

∫

3,

1 6 < 0,

4

+ ,

1 6 < 0,

,

3,

1 < .

=

44

+ ,

1 < .

max

=

−

2

−

{

}

,

0 6 < 1,

+ ,

0 6 < 1,

2

+∞

32. Сходится ли

∫1

( ) , если

{0, иначе.

Z

и — простое,

( ) =

,

если

142

33.Постройте множество, которое содержится в своей границе и не совпадает с ней.

34.Приведите пример функции нескольких переменных, не имеющей локального экстремума в стационарной точке.

35.Постройте функцию ( , ), имеющую обе частные производные в 0, но не дифференцируемую в 0.

36.Вычислите

∫	→∞ (	(		+ )		( +	1 )			)
							−
	lim			1						.

	+∞
37. При каких интеграл	∫1		сходится?

38.Существует ли функция ( ), многочлен Тейлора которой не имеет ни одного комплексного корня в окрестности заданной 0?

39.Постройте неограниченное множество, содержащее несчетное число предельных точек и счетное число граничных.

40.Приведите пример ограниченной, но не интегрируемой на любом отрезке функции.

41.Приведите пример не сходящегося несобственного интеграла, сходящегося в смысле главного значения.

143