Доказательство. Все 4 свойства докажем от противного. Предположим, что < . Тогда по теореме 4.2 : > < . Для первых двух свойств уже получили противоречие, т.е. они доказаны. Выберем теперь = −2 . По определению предела

1( ) : > 1 − < < + ,2( ) : > 2 − < < + ,

= max{ 1, 2} : > − < < + = − < < + .

А это противоречит условию 3 и 4 свойств.

[:|||||:]

Следствие 4.4 (принцип двустороннего ограничения). lim = , тогда если : >

→∞

[ , ], то и [ , ].

Доказательство. Напрямую вытекает из следствия 4.3: раз > , то > . Аналогично,

6 6 . [:|||||:]

3 Теорема о двух милиционерах

Теорема 4.5.

		: > 6 6 . Причем lim = = lim . Тогда lim = .
		→∞	→∞	→∞
Доказательство. Из определения предела { }, > 0 1			: > 1	| − | < − <
< + . Аналогично для предела { }, > 0 2 : > 2 |				− | < − < <

+ . Тогда > max{ , 1, 2} − < 6 6 < + lim = . [:|||||:]

→∞

Часть 5

Монотонные последовательности

1Определение

Если N > +1 ( 6 +1), то ч.п. называется невозрастающей (неубывающей)

иобозначается как { } ( ). В обоих случаях последовательность называется монотонной. Если N > +1 ( < +1), то ч.п. называется убывающей (возрастающей)

иобозначается как { } ↓ (↑). В обоих случаях последовательность называется строго монотонной.

2Теорема Вейерштрасса

Теорема 5.1. Неубывающая ч.п. сходится т.и.т.т., когда она является ограниченной сверху.

Доказательство. доказано в свойстве сходящихся последовательностей 2. Докажем . { } , { } ограничена сверху sup{ } = , т.е. > 0 : − < . { }

> > . Но тогда − < 6 6 < + lim = = sup . [:|||||:]

→∞

21

Следствие 5.2. Невозрастающая числовая последовательность сходится т.и.т.т., когда она ограничена снизу.

Доказательство. доказано в свойстве сходящихся последовательностей 2. Докажем . { } , { } ограничена снизу inf{ } = , т.е. > 0 : + > . { }

> 6 . Но тогда + > > > > − lim = = inf . [:|||||:]

→∞

3Число Эйлера

				Пусть						=						(1 +					1										= (1 +									1			+1			. Тогда →∞																		→∞				.
Теорема 5.3.																					)					,														)
																																																									lim				= lim
Доказательство. Рассмотрим последовательность { }.
												(									1			)									(								)
														1 +																																									= (									)
				−1														− 1																	− 1																								2
																																													·																				·
							=																						=																																									.
																	1						+1												+ 1												+ 1												2	−		1					+ 1
													(			1 +					)												(								)
По неравенству Бернулли (1 + ) > 1 + имеем:
									2																																																				1					+ 1
					(										)		= (1 +															1				)				> 1 +
																																																								> 1 +							=						.
						2				−				1														2				1															2					−			1
																																−
Но тогда																	(					2					)
																																											+ 1
																																·																			·
																																								>																		= 1.
																				2 − 1														+ 1																			+ 1
Т.е. N −1 > { } ↓.
1			+1					1													1											1																	+ 1
(1 +		)		= (1 +							)					(1 +							) > 2								(1 +									)		= 2					(										) > 2, т.е.								{ } ограничена снизу.

Значит, { } сходится.

Аналогичным образом доказывается сходимость { } (возрастает и ограничена сверху). Теперь, пользуясь тем, что (1 + 1 ) < 3:

0 < − =	(1 +
	1

)

(

−

)

→∞

−

→∞

→∞

1 +

1

1

<

3

lim(

) = 0

lim

= lim

.

[:|||||:]

Обе последовательности стремятся к одному и тому же числу, одна сверху, другая снизу. Обозначим данный предел как e, тогда выполняется:

				→∞(			)				=
				lim		1 +	1						(число Эйлера)
	1
						1						+1
(1 +		)	< <		(1 +					)		.

22