3Достаточное условие дифференцируемости

Теорема 26.4. Пусть функция ( , ) определена в некоторой окрестности U( 0) и ∂∂ , ∂∂ , непрерывные в точке 0. Тогда ( , ) дифференцируема в точке 0.

Доказательство. Поскольку ∂∂ , ∂∂ непрерывны в 0, то они определены в некоторой U( 0). Будем считать, что , такие, что ( 0 + , 0 + ) U( 0).

= ( 0+Δ , 0+Δ )− ( 0, 0) = ( ( 0+Δ , 0+Δ )− ( 0, 0+Δ ))+( ( 0, 0+Δ )− ( 0, 0)).

Ив левой, и в правой скобке имеем функции, фактически зависящие от одного переменного. Тогда применим теорему Лагранжа (здесь 0 < Θ1, Θ2 < 1):

∂

( 0 + Θ1 , 0 + ) ·

∂

) ·

=

+

( 0, 0 + Θ2

.

∂

∂

∂

непрерывна в точке 0

по условию, т.е.

∂

(

)

∂

→0

∂

∂

( 0 + Θ1

, 0 +

) =

lim

∂

( 0

+ Θ1

, 0

+ )

+ 1(Δ ,

).

0

→

Значит,

∂

( 0 + Θ1

, 0 +

) =

∂

( 0, 0) + 1(Δ ,

). Аналогично,

∂

( 0, 0 + Θ2

) =

∂

∂

∂

∂

( 0, 0) + 2(Δ , ), где 1, 2 → 0

при → 0. В итоге,

∂

∂

∂

=

( 0) ·

+ 1 +

( 0) ·

+ 2

.

∂

∂

А это не что иное, как определение полного приращения 2. Значит, ( , ) дифференцируема в точке 0. [:|||||:]

Часть 27

Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных

1Дифференцируемость сложной функции

Теорема 27.1. Пусть функции ( ), ( ) дифференцируемы в 0, 0 = ( 0), 0 = ( 0). Предположим, что = ( , ) дифференцируема в точке ( 0, 0). Тогда ( ( ), ( )) дифференци-

руема в 0, причем

= ∂∂ · + ∂∂ · .

Доказательство. ( ), ( ) дифференцируемы в 0, значит они определены в некоторой окрестности U( 0) и непрерывны в 0. ( , ) дифференцируема в ( 0, 0), значит ( , ) определена в некоторой окрестности U( 0, 0). Тогда существует сложная функция ( ( ), ( )) в U( 0). Вспомним, что

=

∂

·

+

∂

·

+ (Δ ,

) ,

∂

∂

=

∂ ·

+

∂ ·

± (Δ ,

)√

(1)

(

)

+ (

)

.

∂

∂

2

2

78

( ), ( ) непрерывны в 0

−−−→0

0,

−−−→0

0, из чего следует, что → 0 −−−→0

0.

√

→

→

→

2

2

−−−→

∞

(

)

(

)

→

√

( ′( ))2 + ( ′( ))2 < .

+

0

Последний переход справедлив, т.к. ( ) и ( ) определены в окрестности 0. Тогда, перейдя к пределу в (1) при → 0, получаем:

= ∂∂ · + ∂∂ · .

[:|||||:]

Несмотря на то, что мы доказали эту теорему для случая 2-ух переменных, она таким же образом формулируется и доказывается для случая многих переменных. Мы предполагаем, что= ( 1, . . . , ), = ( 1, . . . , ). Тогда = 1, справедливо:

	∂			∂		∂
			∑
	∂	=		∂	· ∂ .
			=1

2Инвариантность формы первого дифференциала и правила дифференцирования

Пусть выполняются все условия теоремы 27.1. Тогда если и — независимые переменные, то, как мы уже знаем, = ∂∂ + ∂∂ . Пусть теперь и в свою очередь зависят от . По определению дифференциала = · . В данном случае — это отдельный символ, поэтому, разумеется, нельзя сокращать ! Воспользуемся теперь результатами предыдущей теоремы:

= =

(∂ ·

+ ∂ ·

)

=

∂ ·

·

+ ∂ ·

·

= ∂ +

∂ .

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Части, выделенные рамкой, по определению равны и . Как видно, получили то же самое, что и в случае, когда и независимы. Аналогично случаю одного переменного, это свойство для функций нескольких переменных называется инвариантностью формы первого дифференциала. Из этой же аналогии очевидно, что инвариантность формы дифференциала второго и высших порядков не выполняется.

Инвариантность формы первого дифференциала позволяет доказать следующие правила дифференцирования:

1.Если = , то ( ) = .

2.( ± ) = ± .

3.( ) = + .

4.( ) = − .

2

Доказательство.

1. = ( ) = . Тогда = ∂∂ = .

2. = ( , ) = ± . Снова = ∂∂ ± ∂∂ = ± .

79