Доказательство. Пусть, не теряя общности, ′′( ) > 0 при U′−( 0) и ′′( ) < 0 при U′+( 0). Этого достаточно для строгой монотонности ′( ) в данных полуокрестностях, а значит, и для разного направления выпуклости. Тогда 0 — точка перегиба по определению. [:|||||:]

Следствие 24.6. Пусть ′′( 0) = 0, а ′′′( 0) ̸= 0. Тогда 0 — точка перегиба.

Часть 25

Функции нескольких переменных

1-мерное евклидово пространство

Сэтого момента мы будем работать с конечномерным пространством R . И если раньше мы считали, что — это точка на вещественной прямой, то теперь = ( 1, 2, . . . , ), где R, — точка в -мерном пространстве. Более того, рассматривается евклидово пространство. Это значит, что определены понятия:

√

Норма ‖ ‖ = ∑ 2, для которой выполняются следующие свойства:

=1

1.‖ ‖ > 0, причем ‖ ‖ = 0 = 0.

2.‖ + ‖ 6 ‖ ‖ + ‖ ‖.

3.R ‖ ‖ = | | · ‖ ‖.

Расстояние между точками ( , ) = ‖ − ‖ =
		√ =1( − )2, для которого верно сле-
дующее:			∑
1.	( , ) = 0.
2.	( , ) = ( , ).
3.	( , ) 6 ( , ) + ( , ) R .

Подробнее евклидово пространство будет рассмотрено нами в курсе линейной алгебры (в том числе будут приведены доказательства некоторых вышеупомянутых свойств). Однако докажем следующие два свойства:

Теорема 25.1 (Неравенство Коши-Буняковского). Для любых векторов , из евклидова пространства выполняется неравенство

| , | 6 ‖ ‖ · ‖ ‖,

причем равенство достигается т.и.т.т., когда векторы и линейно зависимы.

Доказательство. Если = 0 или = 0, то | , | = ‖ ‖ · ‖ ‖ = 0, а векторы и линейно зависимы. Пусть теперь ̸= 0 и ̸= 0. Обозначим = ‖ ‖2, = , , = ‖ ‖2. Тогда R из условия положительной определенности скалярного произведения

+ , + = 2 , + 2 , + , = 2 + 2 + > 0.

69