2.[ , +∞) ( ) > 0.

3.1, 2 > ( ) R[ 1, 2].

4.( ) монотонна.

5.( ) → 0 при → +∞.

+∞

Тогда

∫

( ) ( ) сходится абсолютно или условно.

Доказательство. Из сходимости ( ) → 0

следует, что > 0

( ) > : 1, 2

>

| ( 1)|, | ( 2)| <

.

2

Тогда по второй теореме о среднем и, исходя из 1-ого условия теоремы, можно записать

2 ( ) ( )

=

( 1)

( ) + ( 2) 2

( )

6

+

·

= .

∫

∫

∫

2 ·

2

1

1

Что и требовалось

доказать.

[:|||||:]

+∞ sin

sin

1

Рассмотрим

. При

> 1,

6

, т.е. сходимость абсолютная. Пусть теперь

0 < 6 1.

1

, тогда

Обозначим

ограничена.

1

и

( ) = sin

( ) =

( ) → 0

∫

( ) = − cos

при → +∞. Тогда

+∞ sin

сходится (неизвестно пока, абсолютно или условно). Чтобы

1

определить тип

сходимости, исследуем модуль подынтегральной функции:

∫

sin

>

sin2

1

cos 2

1

cos 2

=

−2

= 2

−

2 .

расх.

сх.

Значит, сходимость условная.

4Признак Абеля

+∞

∫

Теорема 42.8. Пусть ( ) сходится (абсолютно или условно), а ( ) монотонна и

+∞

∫

ограничена на [ , +∞). Тогда ( ) ( ) сходится (абсолютно или условно).

Доказательство. По критерию Коши

	> 0		( ) :	1, 2 >		2	( )	< .
						∫
						1

Ограничим | ( )| 6 . Теперь применим вторую теорему о среднем:

2	( ) ( )	=	( 1)		( ) + ( 2)	2	( )	6 2 < ′.
∫				∫		∫
1				1

[:|||||:]

128