Тем самым мы ввели понятие второго полного дифференциала. Обобщим полученный результат. Рассмотрим вектор ¯ = ( 1, . . . , ), где N {0}. Обозначим | | = 1 + 2 +
· · · + , ! = 1! 2! . . . ! и
= |
∂| | |
|
|
. |
|
∂ 1 1 . . . ∂ |
||
Тогда полный дифференциал -ого порядка определяется как
|
|∑| |
|
|
|
= |
|
! |
(¯) , где = 1 1 |
. . . . |
|
! |
|||
|
= |
|
|
|
Например, в частном случае для функции двух переменных при = 2 имеем:
2 |
∂2 |
|
2 |
|
∂2 |
|
|
∂2 |
|
2. |
||
= |
|
|
+ 2 |
|
|
+ |
|
|
||||
∂ 2 |
∂ ∂ |
∂ 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теперь предположим, что аргументы функции ( 1, . . . , ) в свою очередь являются два раза дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных 1, . . . , . Тогда:
2 = ( )
=
= =1 { ( |
∂ ) |
+ |
∂ ( )} = |
= |
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
= =1 { |
=1 |
∂ |
(∂ ) |
|
} = |
+ =1 |
{∂ ( )} = . |
||||
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
∑ |
∑ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению второго дифференциала функции |
выполняется |
|
|
|
|||||||
( ) 1= 1 = 2 .2= 2
...
=
Учитывая это, формула второго дифференциала приобретает вид:
|
|
∂2 |
|
∂ |
|
∑ |
∑ |
|
∑ |
|
|
2 = |
|
|
+ |
|
2 . |
=1 =1 |
∂ ∂ |
=1 |
∂ |
||
|
|
|
|||
Часть 29
Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала
1Частная производная первого порядка
Теперь будем рассматривать функцию ( , ): U ( 0, 0) →R. Множество = {( , , )
R3 | , U ( 0, 0), = ( , )} — график функции = ( , ) в R3.
|
∂ ( |
) |
|
( 0 |
, ) |
|
|
|
По определению |
0 |
|
= |
|
|
= 0 |
. Геометрическая интерпретация частной производ- |
|
∂ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной по состоит в том, что значение |
этой производной в точке 0 — угловой коэффициент |
|||||||
83
наклона касательной в точке 0, т.е. угол между касательной и ее проекцией на . Аналогичный смысл несет в себе и частная производная по остальным переменным. На рисунке ниже продемонстрирован геометрический смысл частной производной по переменной в точке
( 0, 0).
2Касательная плоскость
Вспомним, что = ( , ) дифференцируема в точке 0 т.и.т.т., когда − 0 = ( − 0) +
( − 0) + ¯o( ), т.е.
= 0 + ( − 0) + ( − 0) +¯o( ).
касательная плоскость
Касательной плоскостью к графику функции ( , ) называется плоскость, разность аппликаты которой с ( , ) представляет из себя бесконечно малую величину более высокого
порядка, чем при → 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Как мы знаем, = ( , ) − 0 |
= |
+ |
+ ¯o( ). Тогда по данному определению |
|||||||||
выполняется, что | − 0| = o(¯ ), |
→ 0. |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|||||
|
|
Единственность касательной плоскости следует из единственности определения |
= |
|
|
+ |
||||||||
|
∂ |
∂ |
||||||||||||
|
+ o(¯ ) и единственности частных производных (что следует из единственности предела). |
|||||||||||||
|
∂ |
|||||||||||||
Мы можем записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂ ( 0) |
|
∂ ( 0) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
− 0 = |
|
|
( − 0) + |
|
|
|
( − 0) = , |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|||||
− 0 = .
84
3Производная по направлению
Зафиксируем некоторую точку 0 = ( 0, 0, 0) и будем работать с функцией ( , , ):
U0( 0, 0, 0) →R. Проведем из точки 0 вектор ¯, на котором на расстоянии от 0 отметим точку ( , , ), причем вектор ¯ зададим как ¯ = (cos , cos , cos ), где , , — углы, которые составляет вектор ¯ с осями координат. Данные косинусы углов принято называть
направляющими косинусами.
Заметим, что cos2 + cos2 + cos2 = 1. Действительно, пусть вектор ¯ = ( 1, 2, 3). Тогда по определению косинусов:
cos = |
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
cos = |
√ 1 |
+ 2 |
2 |
+ |
3 |
, |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
||
cos = |
√ |
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 3 |
2 |
+ |
3 . |
|||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
||
√
21 + 22 + 23
Из чего получаем, что вектор ¯ — единичный. Рассмотрим теперь вектор 0 . Имеем:
0 = ( cos , cos , cos ),
0 = ( − 0, − 0, − 0).
Таким образом, = 0 + cos , = 0 + cos , = 0 + cos = 0 + ¯. Иными словами, ( , , ) = ( ( ), ( ), ( )) — сложная функция переменной .
Производной функции ( 0 + ¯) по направлению ¯ называется
∂ |
= lim |
( 0 + ¯) − ( 0) |
. |
∂ |
|
||
→0 |
|
||
85