→ →

( ) = непрерывна на R, т.к. R | ( ) − ( )| = | − | < = .

( ) = sin непрерывна на R, т.к. R | sin −sin | = |2 sin −2 cos +2 | 6 2| sin −2 | 6

2| −2 | = | − | < = .

	(		)	непрерывна в справа (слева), если	→ +0	( → −0	)
					lim ( )	lim ( )	= ( ). Будем гово-

рить, что ( ) непрерывна на [ ; ], если непрерывна во всех внутренних точках отрезка [ ; ] (т.е. на ( ; )) и непрерывна в справа и в слева.

2Свойства непрерывных функций

2.1 Арифметические операции над непрерывными функциями

Теорема 12.1. Пусть ( ) и ( ) непрерывны в , тогда функции ± , · , ( ̸= 0) также являются непрерывными в точке .

Доказательство. Рассмотрим сумму ( ( ) + ( )). Для остальных операций доказательство практически аналогично. По определению lim ( ) = ( ) и lim ( ) = ( ). Но тогда, исполь-

зуя свойство суммы для пределов, получаем, что lim( ( ) + ( )) = ( ) + ( ), что означает,

что ( ( ) + ( )) непрерывна в точке .	→
	[:|||||:]

2.2 Непрерывность композиции функций

Теорема 12.2. : X →Y, : Y →R, ( ) Y. Тогда если ( ) C( 0), а ( ) C( 0 =( 0)), то ( ( )) C( 0).

Доказательство. Снова по определению lim ( ) = ( 0) и	lim ( ) = ( 0). Но тогда, поль-
→ 0	→ 0
зуясь теоремой о пределе композиции функций, получаем, что lim ( ( )) =		lim ( ) = ( 0) =
( ( 0)), что по определению означает, что ( ( )) C( 0).	→ 0	→ 0
		[:|||||:]

Будем говорить, что ( ) терпит разрыв в , если она не является непрерывной в точке ,

т.е.:

V( ( )) : U( ) (U( ) ∩ E) : ( ) / V( ( )) или по-другому

0 > 0 : > 0 E, | − | < , но | ( ) − ( )| > 0.

терпит разрыв в

= 0

. lim

= −1

̸=

lim

.

( ) = sgn

→0−0 sgn

(0) = 0 ̸= →0+0 sgn

= 1

|

тоже терпит разрыв

в

, т.к.

lim

0

( ) =

lim

) = 1

̸=

(0) = 0

.

( ) = | sgn

= 0

0

→

0+0

(

→ −

( ) = sin 1

терпит разрыв в = 0, т.к. @

lim

( ),

@ lim ( ),

@ lim ( ).

→0−0

→0+0

→0

Как видно из этих примеров, бывают разные случаи разрывов, поэтому попробуем их классифицировать.

41