2Асимптотическое сравнение функций

Будем считать, что : E →R, : E →R, : E →R. Пусть > 0, U′( ) : U′( ) ∩ E

| ( )| 6 | ( )|. Тогда говорят, что ограничена по сравнению с в окрестности точки и

обозначают это как = O( ), → . На письме обычно лучше использовать запись = O( ).

1.	1( ) =			1= O		( 2 )		,	→ 0,	1т.к.			1		6		2	, | | < 1.
			1			1							1				1
2.		2	= O		,	→ ∞			, т.к.	2		6			,			>	1.
			(		)											| |

Иными словами, = O( ), → , если в некоторой окрестности точки значения функциипо модулю не более чем в конечное число раз превосходят модуль значения функции . Заметим, что иногда это определение удобно представлять как:

( ) = O( ( )), → 0 ( ) = ( ) ( ), где ( ) ограничена при → 0.

Если = O( ), → и = O( ), → , то говорят, что и — функции одного порядка роста при → . Обозначается как , → .

3. ( ) = , ( ) = (2 + sin 1 ). Считая ̸= 0,

при →

( )

=

| |

1

6 1 | | 6 | |.

( )

|

2 + sin

|

( )

=

sin

1

3 | | 6 3| |.

( )

2 +

6

Тогда , → .

Назовем ( ) и ( ) эквивалентными (асимптотически равными) при → , если:

U′( ) : U′( ) ∩ E ( ) = ( ) · ( ), где lim ( ) = 1.

→

Обозначение: .

→

4.

( ) =

6

0

6, т.к.

6

=

1

· 6.

1 + 4

1 + 4

1 + 4

→

( ) =

6

2, т.к.

6

=

4

· 2.

1 + 4

1 + 4

1 + 4

→∞

В обоих случаях ( ) это не что иное, как часть, заключенная в рамку.

2.1Свойства отношения эквивалентности

1.Симметричность. Если , то .

→ →

Доказательство.

·

1

·

(т.к. если

−−→

1, то и

1

−−→

=

=

→

→

→

1).

[:|||||:]

36