Данный способ называется методом наискорейшего спуска. На каждом шаге необходимо решать задачу одномерной оптимизации, для чего можно использовать описанный выше метод золотого сечения. Несмотря на кажущуюся огромную трудоемкость метода, он обычно сходится намного быстрее описанных выше двух, компенсируя затраты на решение задачи одномерной оптимизации.

Рассмотрим функцию ( , ) =			(1 − )2 + 100( − 2)2 и найдем локальный минимум в
окрестности точки (0, 0) с точностью = 10−5. Найдем градиент функции:
grad = ( ∂ ,		∂ )	= (2(200 3 − 200 + − 1), 200( − 2)).
	∂	∂

При использовании постоянного шага = 10−5 метод сходится относительно медленно, но зато к верному решению (1, 1). Если же применить метод наискорейшего спуска, причем ограничить 0 6 6 10 и использовать теперь метод золотого сечения, то метод сходится мгновенно. Заметим однако, что если, например, ограничить 6 104, то метод золотого сечения не пригоден для нахождения минимума, и градиентный спуск не находит искомое решение. Поэтому применять наискорейший спуск следует с большой осторожностью. Точнее говоря, нужно аккуратно искать минимум в одномерном случае.

6Приближенное вычисление определенных интегралов

Рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла ∫	( ) . В простейших случаях

данный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, но на практике, в реальных задачах, чаще всего она не используется. Дело в том, что найти первообразную ( ) зачастую очень сложно, нередко она и вовсе не выражается через элементарные функции. Однако вычислять интегралы каким-то образом все же нужно, и тут на помощь приходит геометрический смысл определенного интеграла.

Вспомним, как именно вычисляется определенный интеграл. Мы разбиваем отрезок [ , ] на частей, на каждой из которых берем некоторую точку и прибавляем к общей сумме величину ( )Δ . Устремляя размеры частей к 0, мы получаем искомую сумму. Понятно, что если размер каждой части не стремится к 0, то «площадь» (а это и есть геометрический смысл определенного интеграла) будет посчитана неточно. Чем меньше (а соответственно, чем больше размер каждой части), тем менее точной оказывается посчитанная площадь.

Суть всех описанных здесь методов заключается в том, что теперь размер каждой части не стремится к 0. Мы выбираем достаточно большим (чтобы минимизировать получившуюся ошибку), но в пределах разумного. Разница лишь в том, как именно мы теперь оцениваем величину ( )Δ для каждого . Наиболее подробно мы рассмотрим метод прямоугольников — самый простой из описанных ниже. Но несколько слов скажем и о двух других.

153

6.1 Метод прямоугольников

По названию можно понять, что каждый участок разбиения будет аппроксимироваться прямоугольником. Возьмем разбиение на равных частей отрезка [ , ]: = 0 < 2 < · · · < 2 =. Пусть 1, 3, . . . , 2 −1 — середины отрезков разбиения. Эти точки и выберем в качестве . Учитывая, что длина каждого отрезка разбиения равна − :

∫

( ) = ( 1)( 2 − 0) + ( 3)( 4 − 2) + · · · + ( 2 −1)( 2 − 2 −2) + =

		·	1	3		· · ·		2 −1
=	−		( (	) + (	) +		+ (		)) + .

Здесь — некоторый остаточный член, т.е. погрешность. На рисунке приведен пример вычисления определенного интеграла, используя этот метод. Осталось самое главное: оценить это самое . Для этого докажем следующую теорему.

Теорема 45.3. Если ( ) дважды непрерывно дифференцируе-

мая функция на [ , ], то [ , ] : = ( − )3 (2)( ).

24 2

Доказательство. Для начала получим оценку для случая одного прямоугольника. Рассмотрим следующий интеграл для доста-

точно малого :

∫

( ) = 2 (0) + ̃.

−

Чтобы оценить ̃, введем два вспомогательных интеграла:

∫

1 = (2)( )( − )2 ,

0

0

∫

2 = (2)( )( + )2 .

−

Начнем с первого:

1 = ∫	(2)( )( − )2 = ′( )( − )2		0	− 2	∫		′( )( − ) =
0					0
	= − ′(0) 2 − 2 ( )( − )			0 + 2		∫	( ) = − ′(0) 2 − 2 (0) + 2			∫	( ) .
						0				0
Аналогично берется и второй интеграл:
	0							0
	2 = ∫	(2)( )( + )2 = ′(0) 2 − 2 (0) + 2						∫	( ) .
	−						−

154

Тогда получаем:

1 + 2 + 4 (0) = 2	∫	( ) ,

−

∫

1 + 2 + 2 (0) = ( ) = 2 (0) + ̃. 2

−

В итоге:

= 1			2	2	= 2	∫0		(2)( )( − )2	+			∫	(2)( )( + )2								= по теореме о среднем								=
			+		1							0
̃										0
= 2			(2)( 1) ∫0				( − )2 + (2)			−									( (2)( 1) · 3 + (2)( 2) ·								3 )
									( 2) ∫			( + )2 =					2												=
1															(2)		1							3		3
										3				(2)								3
									−
									(2 )			·			( 1) +	( 2)					(2 )		· (2)( ), где			[−, ].
								=												=
									24						2						24

Последний переход сделан, учитывая тот факт, что (2)( ) — непрерывная по условию функция, а значит она принимает все промежуточные значения. Таким образом, мы получили,

что

∫ ( ) = 2 (0) + (224)3 · (2)( ),

−

т.е. имеем ошибку порядка 3. Осталось лишь применить данную оценку ко всему интегралу:

−

( − )3

( ) =

( (

) +

+ (

)) +

( (2)(

) +

+ (2)(

)) =

∫

1

· · ·

2 −1

24 3 ·

1

· · ·

=

−

( (

) +

· · ·

+ (

2 −1

)) +

( − )3

(2)( ), где

[ , ].

24 2

1

[:|||||:]

Заметим, однако, что оценить более-менее точно величину (2)( ) зачастую достаточно труд-

но, поэтому обычно говорят, что 6 ( − )3 max | (2)( )|. Несмотря на то, что метод кажется

24 2 [ , ]

слишком «грубым», он достаточно часто применяется на практике ввиду своей простоты.

6.2 Метод трапеций

Снова введем разбиение отрезка [ , ] на равных частей: = 0 < 1 < · · · < = . Рассмотрим некоторый участок разбиения. Чаще всего он представляет собой не что иное, как криволинейную трапецию. Поэтому достаточно логично будет аппроксимировать этот участок

155

прямоугольной трапецией, что и проиллюстрировано на рисунке. Площадь такой трапеции рав-

на

= ( ) + ( ) · ( − ). 2

А значит, мы можем записать, что

∫			( ) + ( −1)
		( ) = =1		·	+ .
			2
		∑

Однако погрешность в худшем случае получается в два раза больше, чем при вычислениях по методу прямоугольников. Иными словами, можно доказать, что

6 ( − )3 max | (2)( )|.

12 2 [ , ]

Но на практике этот метод обычно показывает более точные результаты, чем метод прямоугольников.

6.3 Метод Симсона

Также еще называется методом парабол. Если в методе прямоугольников мы аппроксимировали значения функции на отрезке разбиения константой, в методе трапеций — прямой, то теперь мы аппроксимируем функцию многочленом степени 2, т.е. параболой.

И опять разобьем отрезок [ , ] на равных частей. Рассмотрим некоторый участок разбиения [ −1, ]. Поскольку парабола однозначно строится по трем точкам,

проведем ее через точки −1, + −1 , . Интерполируя

2

и интегрируя, получаем следующую формулу:

( ( ) )

= − −1 ( −1) + 4 + −1 + ( ) .

6 2

Суммируя по всем = 1, , получаем

∫			− −1	( ( −1) + 4 (	+ −1
		( ) = =1
			6		2
		∑

Погрешность этого метода уже значительно меньше. Если дифференцируема на [ , ], то имеет место следующая оценка:

6 ( − )5 max | (4)( )|. 2880 4 [ , ]

) )

+ ( )

+ .

( ) четырежды непрерывно

Даже если четвертая производная функции ( ) не существует, этот метод все равно заметно точнее предыдущих.

156