Теорема 12.4. Пусть ( ) монотонна. Тогда у нее могут существовать только точки разрыва I рода.

Доказательство. Снова без потери общности предположим, что ( ) монотонно неубывает.( ) ( ; ), < ( ) 6 ( ) ( − 0) 6 ( ). Если в данном неравенстве стоит знак =, то функция непрерывна в точке , если же стоит знак <, то она терпит разрыв I рода в . [:|||||:]

Часть 13

Локальные и глобальные свойства непрерывных функций

Будем называть локальными те свойства, которые справедливы в любой окрестности фиксированной точки из области определения функции. Глобальными же назовем свойства, связанные со всей областью определения функции.

1Локальные свойства

1.1 Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел

Теорема 13.1. : E →R и lim ( ) < ∞. Тогда > 0 : ( ) ограничена на множестве

→

U ( ) ∩ E.

Доказательство. lim ( ) = > 0 ( ) > 0 : U′ ( ) ∩E | ( ) − | < − <

→

( ) < + . Если / E, то получили границы для ( ), т.е. теорема доказана. Если же E, то примем = min{ − ; ( )}, = max{ + ; ( )} U ( ) ∩E 6 ( ) 6 . [:|||||:]

Следствие 13.2. Если ( ) C( ), то > 0 : ( ) ограничена на U ( ).

1.2 Сохранение знака непрерывной в точке функции

Теорема 13.3. Пусть : E →R, C( ), E и ( ) > 0 ( ( ) < 0). Тогда > 0 : ( ) > 0 ( ( ) < 0) U ( ) ∩ E.

Доказательство. Так как ( ) C( ), то > 0 ( ) > 0 : U ( ) ∩ E | ( ) − ( )| <

( ) − < ( ) < ( ) + . Положим =	| (2 )|	, тогда ( ) − > 0	при ( ) > 0 и ( ) + < 0
при ( ) < 0, т.е. левая и правая части неравенства всегда одного знака, значит U ( ) ∩ E
выполнено требуемое.			[:|||||:]

Будем говорить, что [ ; + ) — правая -полуокрестность точки , а ( − ; ] — левая-полуокрестность. Заметим, что сохранение знака справедливо для функции, непрерывной в точке справа (слева). В этом случае абсолютно так же предъявляется соответствующая правая (левая) -полуокрестность.

43