Доказательство. Необходимость была доказана ранее. Докажем достаточность. Снова рассмотрим отрезок [ 1, 2] [ , ]. На этом отрезке выполнены все условия теоремы Лагранжа, тогда
( 2) − ( 1) = ′( ) = 0 ( 2) = ( 1) (т.к. 2 ̸= 1) ( ) = .2 − 1
[:|||||:]
Теорема 18.4 (Теорема Коши о конечном приращении). Пусть для функций ( ) и ( )
выполнено:
1.( ), ( ) C[ , ].
2.( ), ( ) дифференцируемы на ( , ).
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
|
|
|
( , ) : ′( )( ( ) |
− |
( )) = ′( )( ( ) |
− |
( )) |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
′( ) = 0 |
|
|
[ , ] |
|
( )− ( ) |
= |
|
′( ) |
|
|
|||
2. |
Если |
|
, то ( )− ( ) |
′( ) . |
|
||||||||||||
̸ |
для |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Доказательство.
1.Рассмотрим функцию ( ) = ( )( ( ) − ( )) − ( )( ( ) − ( )). Для нее выполняются свойства 1 и 2. Заметим также, что
( ) = ( ) ( ) − ( ) ( ) − ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( ),
( ) = ( ) ( ) − ( ) ( ) − ( ) ( ) + ( ) ( ) = − ( ) ( ) + ( ) ( ).
Т.е. ( ) = ( ), тогда по теореме Ролля ( , ) : ′( ) = 0. Но ′( ) = ′( )( ( ) −
( )) − ′( )( ( ) − ( )), т.е. ′( )( ( ) − ( )) = ′( )( ( ) − ( )).
2.Если ′( ) ̸= 0, то ( ) ̸= ( ), т.к. в противном случае выполнялась бы теорема Ролля. Из последнего неравенства и пункта 1 непосредственно получаем доказываемое.
[:|||||:]
Заметим, что между теоремами Коши, Лагранжа и Ролля существует тесная связь. Если в формуле Коши принять ( ) = , то получим теорему Лагранжа. Действительно:
( ) |
− |
( ) |
= |
′( ) |
|
( ) |
− |
( ) |
= ′( ) ( ) − ( ) = ′( )( − ). |
|
( ) |
− |
( ) |
|
′( ) |
|
− |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если же ( ) = ( ), то по формуле Лагранжа получаем теорему Ролля.
( ) − ( ) = ′( )( − ) = 0 ′( ) = 0.
Часть 19
Производные высших порядков
1Определение
Рассмотрим функцию ( ), дифференцируемую на множестве E. Т.е. ′( ). Если ′( ) тоже дифференцируема на E, то ( ′( ))′ = ′′( ). Аналогично, если ′′( ) дифференцируема
53
на E, то ′′′( ) = (3)( ). Производной -ого порядка будем считать ( )( ) = ( ( −1)( ))′, причем (0)( ) = ( ). Разумеется, для существования производной -ого порядка должны существовать производные всех меньших порядков.
Множество функций, имеющих все производные до порядка включительно на множестве E, обозначается C( )(E).
Рассмотрим несколько примеров:
( ) = sin .
′ |
( ) = cos = sin ( |
|
+ ), |
|
||
|
|
|||||
2 |
|
|||||
′′ |
( ) = − sin = sin ( + ) , |
, |
||||
′′′( ) = − cos = sin ( |
32 + ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
( ) = sin . |
|
|
|
|
|
Докажем по индукции, что ( )( ) = sin ( 2 + ). При = 1 уже было показано ранее. Пусть это верно при некотором , докажем для = + 1.
|
( +1)( ) = sin ( |
( |
2 |
|
|
+ ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( +1)( ) = ( ( )( ))′ = |
(sin ( |
2 + ) )′ |
= cos ( |
2 |
|
+ ) |
= sin ( |
( |
2 |
+ ). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1) |
|
|||
( ) = . ( )( ) = .
( ) = . Беря раз производную, получаем, что ( )( ) = ( − 1) . . . ( − + 1) − .
( ) = ln . ′( ) = 1 = −1. ( )( −1) = (−1)(−2) . . . (− ) −1− = (−1) · ! · −1− . Тогда получаем, что ( )( ) = ( −1)( −1) = (−1) −1( − 1)! − .
2Формула Лейбница
Теорема 19.1. Пусть ( ) и ( ) имеют не менее производных на множестве E. Тогда
( · )( ) = ∑ · ( − ) · ( ).=0
1
Доказательство. Докажем по индукции. При = 1, ( · )′ = ′ + ′ = ∑ 1 · ( − ) · ( ).
=0
Пусть равенство верно при некотором , докажем его справедливость при = + 1. Беря по определению производную ( · )( +1):
|
|
′ |
( · )( +1) = |
( |
· ( − ) · ( )) |
|
∑ |
|
|
=0 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
∑ |
· ( − +1) · ( ) + |
∑ |
= |
· ( − ) · ( +1) = |
|
=0 |
|
=0 |
|
|
|
∑ |
· ( − +1) · ( ) + |
∑ |
|
∑ |
( |
+1 |
|
) |
|
= |
−1 · ( − +1) · ( ) = 0 · ( +1) · + |
|
+ −1 |
|
· ( − +1) · ( )+ |
||||
=0 |
|
=1 |
∑ |
=1 |
|
∑ |
|
|
|
+ · · ( +1) = 0 · ( +1) · + |
|
|
|
|
· ( − +1) · ( ). |
||||
+1 · ( − +1) · ( ) + · · ( +1) = |
|
+1 |
|||||||
|
|
|
=1 |
|
|
=0 |
|
|
|
54