2Глобальные свойства

2.1 Прохождение непрерывной функции через 0 при смене знаков

Теорема 13.4. Пусть ( ) C[ ; ] (т.е. непрерывна на отрезке [ ; ]) и ( ) · ( ) < 0. Тогда

( ; ) : ( ) = 0.

Доказательство. Без потери общности предположим, что ( ) < 0, ( ) > 0. Пусть — множество всех [ ; ] : ( ) < 0. Заметим, что ̸= ? (т.к. ) и ограничено сверху, т.к.< . Тогда sup = . Заметим, что ( ; ), т.к. из условий ( ) < 0, ( ) > 0 и в силу теоремы 13.3 существует правая 1-полуокрестность точки : [ ; + 1) ( ) < 0 и существует левая 2-полуокрестность точки : ( − 2; ] ( ) > 0. Докажем, что( ) = 0. Предположим противное, тогда по теореме 13.3 нашлась бы -окрестность точки , в которой функция имела бы определенный знак, но это невозможно, т.к. по определению sup

хотя бы для одного ( − ; ] ( ) < 0	и хотя бы для одного ( ; + ) ( ) > 0.
Получили противоречие.	[:|||||:]

2.2Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение

Теорема 13.5. C[ ; ], причем ( ) = , ( ) = . Пусть [min{ ; }; max{ ; }]. Тогда[ ; ] : ( ) = .

Доказательство. Если = , или = , или вообще = = , то определяется тривиально. Пусть ̸= . Без потери общности считаем, что < < . Рассмотрим функцию

( ) = ( ) − . Тогда	( ) C[ ; ] и принимает на концах значения разных знаков (т.к.
( ) = ( ) − = − < 0,		( ) = ( ) − = − > 0). Но тогда : ( ) = 0, т.е.
( ) − = 0 ( ) = .		[:|||||:]

2.3 Критерий непрерывности монотонной функции

Следствие 13.6. Монотонная функция ( ) непрерывна на [ ; ] т.и.т.т., когда она принимает все промежуточные значения.

Часть 14

Теоремы Вейерштрасса

Уже забыл я запах водки и дни, когда я пьяный был.

Я изменил свою походку, но теорему Вейерштрасса не забыл.

Народный фольклор

1Первая теорема Вейерштрасса

Теорема 14.1. Если ( ) C[ ; ], то ограничена на этом множестве.

44

Доказательство. От противного. Пусть ( ) не ограничена сверху. Тогда N найдется хотя бы одна точка [ ; ] : ( ) > (т.к. иначе функция была бы ограничена сверху) { ( )} — бесконечно большая. Т.к. { } [ ; ], то { } ограничена. Отсюда по теореме

Больцано-Вейерштрасса существует такая подпоследовательность { } : lim = . Тогда по

→∞

принципу двустороннего ограничения [ ; ]. Т.к. ( ) C[ ; ] { ( )} −−−→ ( ). Но

→∞

это противоречит тому, что подпоследовательность { ( )}, будучи выделенной из бесконечно большой последовательности, сама является бесконечно большой. Доказательство существова-

ния нижней границы аналогично.	[:|||||:]
Заметим, что данная теорема не справедлива для интервалов. Например, ( ) = 1	непре-

рывна на множестве (0; 1), но не является ограниченной на нем.

Будем говорить, что ( ) — точная верхняя грань (нижняя) ( ) на E, если выполняется:

1.E ( ) 6 ( ( ) > ).

2.> 0 ′ E : ( ′) > − ( ( ′) < + ).

Как и для множеств, справедливо то, что если ( ) ограничена сверху (снизу) на E, то

существует точная верхняя (нижняя) грань. Обозначения: = sup ( ), = inf ( ). Стоит

E E

заметить, что точная верхняя и нижняя грань достигаются на области определения функции далеко не всегда. Рассмотрим следующий пример:

( ) =	{	1	,	если	0, 1 .
		2,		если	(0; 1),
		2			{ }

sup ( ) = 1 не достигается, т.к. @ [0; 1] : ( ) = 1. Аналогично и для инфимума.

2Вторая теорема Вейерштрасса

Теорема 14.2. Если ( ) C[ ; ], то она достигает своей точной верхней и нижней граней (т.е. 1, 2 [ ; ] : ( 1) = sup ( ), ( 2) = inf ( )).

EE

Доказательство. По первой теореме Вейерштрасса функция ( ) ограничена на [ ; ], а значит у нее существуют точная верхняя и нижняя грань. Докажем достижимость точной верхней

грани , достижимость нижней доказывается аналогично.
От	противного. Пусть				недостижима, т.е.	[ ; ] ( ) <	. Рассмотрим функцию
	1
( ) =			. Тогда [ ; ] − ( ) > 0 и ( − ( )) C[ ; ]. Пользуясь арифметически-
		− ( )

ми операциями с непрерывными функциями получаем, что ( ) также непрерывна на [ ; ]. Зна-

чит, по первой теореме Вейерштрасса : [ ; ] ( ) 6 . − ( ) > 0	( ) 6 −	1	,
а это противоречит тому, что является точной верхней гранью.	[:|||||:]

45