3. ( ) =

( )

. Поскольку ( ) ̸= 0, то по теореме об устойчивости знака ( + ) ̸= 0 для

( )

малых

. Тогда

= ( + )

−

( ) =

( +

)

( )

=

( +

) ( ) − ( + ) ( )

=

( +

)

− ( )

( ) ( + )

=

( ( +

) ( ) − ( ) ( )) − ( ( +

) ( ) − ( ) ( ))

=

( ) ( + )

=

( )( ( + ) − ( )) − ( )( ( +

) − ( ))

=

( )Δ − ( )Δ

.

( ) ( +

)

( ) ( +

)

Таким образом,

( )

− ( )

=

.

( ) ( + )

Снова используя непрерывность и беря предел правой и левой частей, получаем, что

′( ) = ( ) ′( ) − ( ) ′( ).

2( )

[:|||||:]

2 Функции, заданные параметрически

= ( )
Если зависимость функции от переменной задана посредством , т.е. { = ( )	, где

T, то будем говорить, что = ( ) задана параметрически, причем — параметр.

Теорема 16.4 (дифференцирование функций, заданных параметрически). Пусть и

дифференцируемы на T и в некоторой окрестности 0 существует функция, обратная к, т.е. = −1( ). Тогда ′( ) = ′′(( )) .

Доказательство. Заметим, что = ( ) = ( −1( )). Имеем: = ′( ) , = ′( ) . По-

скольку = ′( ) , то			=	′( )	.	[:|||||:]
				′( )

Часть 17

Теоремы о дифференцируемых функциях II

Будем говорить, что = ( ) возрастает (убывает) в точке , если U( ) : U( ) <

( ) < ( ) ( ( ) > ( )), а > ( ) > ( ) ( ( ) < ( )). Функция = ( ) имеет

локальный максимум (минимум) в точке , если U′( ) : U′( ) ( ) < ( ) ( ( ) >

( )).

Если в определениях использовать нестрогие знаки, то функция не убывает (не возрастает), а локальный максимум/минимум называются нестрогими.

Функция = ( ) имеет локальный экстремум в некоторой точке, если она имеет локальный минимум или локальный максимум в данной точке.

50

Теорема 17.1 (достаточное условие возрастания/убывания в точке). Если = ( ) дифференцируема в точке , а ′( ) > 0 ( ′( ) < 0), то ( ) возрастает (убывает) в точке

.

Доказательство. Пусть ′( ) > 0. Другой случай рассматривается аналогично.

(

) =

→

−

0 (

)

0 : : 0

|

−

|

−

−

(

)

′

lim

( )

( )

>

>

<

<

( )

( )

′

< .

−

−

( )

( )

( )

( )

= ′( )

−

−

′( ) < ′( )

0 <

−

< 2 ′( ).

−

−

( )

( )

Из чего вытекает требуемое,

т.к. для выполнения

0 <

−

нужно, чтобы знак числителя

совпадал со знаком знаменателя.

−

[:|||||:]

Важно отметить, что условие из теоремы 17.1 не является необходимым для возрастания (убывания) функции ( ) в точке . Например, ( ) = 3. Тогда ′( ) = 3 2 ′(0) = 0, но( ), очевидно, возрастает в точке 0.

Теорема 17.2 (Теорема Ферма). Пусть ( ) дифференцируема в точке и ( ) имеет локальный экстремум в этой точке. Тогда ′( ) = 0.

Доказательство. Если ( )	имеет локальный экстремум в точке , то она не убывает и не
возрастает в точке . Тогда	по теореме 17.1 не может выполняться ′( ) > 0	или ′( ) < 0.
Значит, ′( ) = 0.		[:|||||:]

Заметим, что данное условие является лишь необходимым, но не достаточным для существования экстремума в точке. В качестве примера опять-таки можно привести ( ) = 3 при

= 0.

Геометрический смысл данной теоремы состоит в том, что если дифференцируемая функция ( ) имеет локальный экстремум в точке , то касательная в этой точке параллельна оси абсцисс.

Теорема 17.3 (Теорема Ролля). Если выполнено:

1.( ) C[ , ].

2.( ) дифференцируема на ( , ).

3.( ) = ( ).

Тогда ( , ) : ′( ) = 0.

Доказательство. Т.к. ( ) C[ , ], то по второй теореме Вейерштрасса она достигает на [ , ] своего наибольшего значения и наименьшего значения .

Если = , то ( ) = ′( ) = 0 ( , ).

Если > , то хотя бы один из всех локальных экстремумов достигается внутри ( , ) в некоторой точке . По теореме Ферма ′( ) = 0.

[:|||||:]

51

Т.к. дифференцируемая функция является непрерывной, то вместо условия 1 достаточно требовать лишь непрерывность слева в и справа в . Однако полностью отказаться от условия непрерывности в теореме нельзя. Например:

	( ) = {0,	если = 1.
	,	если 0 6 < 1,
Условия	2 и 3, очевидно, выполняются, но не существует такой ,		что ′( ) = 0. Это
происходит	потому, что данная функция терпит разрыв в точке = 1.

Геометрический смысл данной теоремы в том, что существует точка на ( , ), касательная в которой параллельна оси абсцисс.

Часть 18

Теоремы о дифференцируемых функциях III

Теорема 18.1 (Теорема Лагранжа). Если выполнено:

1.( ) C[ , ].

2.( ) дифференцируема на ( , ).

( , )

, для которой

( )

−

( ) = ′( )(

−

)

(иногда

записывают как

Тогда

+ Θ( − ), где 0 < Θ < 1).

Доказательство. Рассмотрим функцию ( ) = ( ) −

( )− ( )

· ( − ). Эта функция непре-

−

рывна (как композиция непрерывных функций) и дифференцируема (как композиция дифференцируемых функций). Также, ( ) = ( ) − 0 = ( ) и ( ) = ( ) − ( ) + ( ) = ( ), т.е. ( ) = ( ). Значит, для данной функции выполнены все условия теоремы Ролля. Тогда

( , ) : ′( ) = 0 = ′( )

( )− ( )

( )

( ) = ′( )(

).

[:|||||:]

− −

−

−

Геометрический смысл данной теоремы в том, что

( , ),

такая, что касательная в этой точке будет параллельна хорде, соеди-

няющей ( ; ( )) и ( ; ( )).

Следствие 18.2. Если ( , ) ′( ) > 0 ( ′( ) < 0), то ( ) не

убывает (не возрастает) на ( , ).

Доказательство. Рассмотрим отрезок [ 1, 2] ( , ). На этом отрез-

ке выполнены все условия теоремы Лагранжа, тогда

( 2)− ( 1)

= ′( ).

Т.к. 2 > 1

2− 1

и ′( ) > 0, то ( 2) > ( 1). В случае же, когда ′( ) < 0,

выполняется ( 2) < ( 1).

[:|||||:]

Следствие 18.3 (критерий постоянства). Для того, чтобы непрерывная функция ( ) =на [ , ] необходимо и достаточно, чтобы ′( ) = 0 [ ; ].

52