2Интегрирование рациональных дробей

На самом деле мы вывели некоторые свойства многочленов не просто так. У очень немногих функций можно выразить первообразную с помощью элементарных функций. Например,

невыразим в них даже такой, казалось бы простой, интеграл			sin 2 . Однако есть классы
функций, интегралы от которых всегда можно посчитать в	элементарных функциях. Один из
		∫
таких классов сейчас и рассмотрим.
Пусть ( ) и ( ) — некоторые многочлены. Выражение			( )	— рациональная дробь.
			( )

Будем называть ее правильной, если степень многочлена ( ) строго меньше степени ( ).

Лемма 36.4. Пусть

( )

( ) =

(

) ( )

( ) ̸= 0. Тогда

( )

— правильная рациональная дробь, и

−

̃

, где

̃

( )

=

+

( )

.

( − )

( − ̃) −1 ( )

( )

Здесь R и ̸= 0, а ( ) — какой-то многочлен.

̃

Доказательство. Запишем̃следующую разность:

( )

=

( ) − ( )

.

( − ) ( )

− ( − )

( − ) ̃( )

Теперь выберем так, чтобы

число

было корнем числителя дроби, стоящей справа.

̃

̃

( ) − ̃( ) = 0 =

( )

.

( )

Теперь является корнем многочлена ( )

( )

(̃ ). Но тогда этот многочлен имеет

̃( )

представление ( − ) ( ). Значит,

−

· ̃

̃

(

)

= ( − ) ( ) =

( )

.

̃

( − ̃)

( − ) ( )

(

−

)

( − )

( )

−

( )

−

1

А это и требовалось

доказать.

̃

̃

[:|||||:]

̃

Лемма 36.5. Пусть теперь ( ) = ( 2 + + ) ( ), причем

многочлен 2 + + =

( − − )( − + ), т.е. не имеет вещественных

̃корней. Тогда

( )

+

( )

(

2

+

̃

−

1

.

( ) = ( 2 + + ) +

+ )

( )

Доказательство. Проведем доказательство по той же схеме.

̃

Рассмотрим разность

( )

+

=

( ) − ( + ) ( )

.

( ) − ( 2 + + )

(

2

+ + ) (̃)

Выберем

и

так, чтобы число

+ являлось корнем

числителя:

̃

( + ) − ( ( + ) + ) ̃( + ) = 0,

( + ) + = ( + ).

̃( + )

104

Выразим из равенства мнимых частей в последнем уравнении, а выразим из равенства вещественных частей. Получаем, что

= Im

( ( + )· ),

( + )

̃

)

= Re

(

( + )

− .

̃( + )

(

2

Поскольку + — корень числителя, то − тоже, а значит он представляется в виде

+ + ) ̃( ). Тогда

( 2 + + ) ( )

( )

+

(

+ + )

̃

( )

( ) − ( 2 + + ) =

2

.

Что и требовалось доказать.

̃

[:|||||:]

Наконец, сформулируем следствие из двух последних лемм.

Следствие 36.6. Пусть ( ) = ( − 1) 1 . . . ( − ) ( 2 + 1 + 1) 1 . . . ( 2 + + ) . Тогда

	( )		−1						−1	+
		=	∑ ∑		−		+	∑ ∑			.
	( )		=1 =0	(		) −		=1	=0	( 2 + + ) −

Доказательство. Получаем последовательным применением лемм 36.4 и 36.5 ко всем корням знаменателя. [:|||||:]

Разумеется, на практике эти монструозные формулы не применяются в явном виде. Примеры взятия интегралов рациональных дробей читатель может найти на странице 167. Сейчас же докажем следующую теорему:

Теорема 36.7. Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.

Доказательство. Воспользуемся разложением рациональной дроби из теоремы 36.6. Факти-

чески осталось лишь доказать, что в элементарных функциях интегрируются функции и

( − )

2 + . Разберемся с ними по очереди. Во-первых,

( + + )

∫

− = ln | − | + ,

∫

=

(

−

)−

=

( − )1−

+ при = 1.

( −

)

∫

1 −

̸

Это было просто. Элементарность полученных результатов очевидна. Теперь вычислим вто-

рой интеграл. Для начала найдем решение для частного случая:

+

2

2

2

+

∫

= { 2 + + = +

+ −

= +

)

+ 2}

= ∫

=

2 + +

2

4

2

+ 2

2 + 2

+

=

=

(

)

(

(

)

=

2

=

2−

2 2

+

2 =

2 2+ =

2

=

∫

(

+ )

∫

(

−

)

∫

+

2

+

−

2

( 2 + 2)

+

−

=

ln( 2

−

+ =

=

2

+ 2) +

2

arctg

∫

+

2

∫

2

+ 1

·

2

2

2

2

2

(

)

=

ln( 2 + + ) +

2 −

arctg

+

2

+ .

(

2

2

)

105

Заметим, что это элементарная функция. А теперь найдем ответ при ̸= 1 (в качестве используется предыдущая замена):

+

− 2 +

( 2 + 2)

∫

=

∫

(( 2 + )2)

=

∫

+ ( −

)∫

.

( 2 + + )

2

( 2 + 2)

2

( 2 + 2)

Пока все сделано аналогично предыдущему частному случаю. Левое слагаемое мы можем с легкостью проинтегрировать, поэтому рассмотрим правое. Введем для него обозначение .

=

=

1

2 + 2 − 2

=

1

2 + 2

1

2

=

( 2 + 2)

2 ∫

2 ∫

( 2 + 2)

−

2 ∫

( 2 + 2)

∫

( 2 + 2)

∫

2

1

−1 −

1

=

.

2

2

( 2 + 2)

Теперь рассмотрим последний интеграл. Имеем:

2

1

( 2 + 2)

1

∫

=

∫

=

∫

(( 2 + 2)1− ).

( 2 + 2)

2

( 2 + 2)

2(1 − )

Последнее внесение под дифференциал может показаться неочевидным, но читатель может проверить его, вынеся функцию из под знака дифференциала. Проинтегрируем последнее выражение по частям:

2(1

1

)

(( 2 + 2)1− ) =

{ =

= ( 2 + 2)1−

}

=

∫

=

= (( 2 + 2)1− )

−

∫

=

1

( 2 + 2)1− −

1

=

1

( 2 + 2)1− −

1

−1.

2 − 2

2 − 2

( 2 + 2) −1

2 − 2

2 − 2

Таким образом, мы смогли выразить через −1. 1 считается тривиально. Теперь, подставляя все полученные результаты в выражение для , получаем

1		=	1 arctg + 2								+ ,
											+									2		3				(1)
												2
																					−
		=																+							1	.
																	1		2
												2
			2 2(				1)								+ 2		−		(2 − 2)					−
											+
					−			(					2)

Теперь, используя выражение для , вернемся к уже забытому нами интегралу. Получаем следующий результат:

∫	( 2 + + )		−	2 · − 1	· ( 2 + + ) −1	2		·
	+	=		1	1	+	2 −				+ .

Заметим, что ответ получен в элементарных функциях. Элементарность следует из его рекурсивного определения (1). Действительно, 1 элементарна. Предположим, что −1 выражается в элементарных функциях. Тогда элементарна как композиция элементарных функций. [:|||||:]

106