Дифференцирование под знаком интеграла

В этой главе мы познакомимся с необычным методом вычисления интегралов. Его упоминает в своей автобиографии Ричард Фейнман. Хотя применять этот метод для взятия более-менее простых интегралов не стоит (это как палить из пушки по воробьям), он может помочь при вычислении сложных (или вообще не берущихся другими методами) интегралов. Особенно, если подынтегральная функция содержит экспоненту, логарифм, арккосинус и прочие «неудобные» функции.

Фейнман рассказывает, что данный метод практически не упоминался в MIT, когда он учился там (и вообще, университеты мало акцентировали внимание на нем). Сам Фейнман прочел о нем в какой-то книге. Тут стоит отметить, что он настолько наловчился пользоваться этим методом, что зачастую и не прибегал к другим, несмотря на то, что это требует определенного мастерства и опыта.

Теория

Дифференцирование под знаком интеграла применимо только для вычисления определенных и несобственных интегралов. Метод опирается на две следующие теоремы, которые здесь приводятся без доказательства.

Теорема (*). Пусть функция ( , ) определена и непрерывна на прямоугольнике [ , ]×[ , ], на котором также определена и непрерывна первая частная производная ′( , ). Тогда справедливо равенство

		′( , ) .
∫	( , ) = ∫

Для случая несобственных интегралов нужно ввести вспомогательное определение. Пусть( , ) непрерывна по на [0, +∞). Тогда если

+∞

∫

( ) R[0, +∞), ( ) →: [ , ], > 0 | ( , )| 6 ( ),

0

+∞

∫

то интеграл ( , ) равномерно сходится на [ , ], а функция ( ) называется домини-

0

рующей на [ , ].

Теорема (**). Пусть функция ( , )						вместе с ее частной производной ′( , ) определены
							+∞
и непрерывны на [ , ]	[0, +		). Тогда если				∫0	′	( , ) равномерно сходится на [ , ], то
справедливо равенство×		∞
			∫		( , ) = ∫				′( , ) .

137

1 + 2

ln(1 + )

1 + 2 .

1

Похожая теорема формулируется и для несобственных интегралов II рода, но здесь не приводится.

Примеры

Начнем с определенного интеграла

1

∫

0

Введем параметр и функцию от :

∫

( ) = ln(1 + ) .

0

Заметим, что искомый интеграл равен (1). Теперь, пользуясь теоремой 3, продифференцируем

1	(1 + )(1 + 2).
′( ) = ∫0

Обратите внимание, что дифференцирование идет именно по параметру . Получившийся интеграл легко берется разложением в сумму рациональных дробей, в результате чего получится

′( ) = (−

2 2

+ 2

)

0 = − 1 + 2

+ 2 + 2 2

+ 4

· 1 + 2 .

2 ln(1 + ) + 2 arctg( ) + ln( 2 + 1)

1

ln(1 + )

ln 2

Теперь нужно вернуться к ( ). Для этого

проинтегрируем

по левую и правую части

равенства:

( ) = − ∫

1 + 2 +

2

arctg +

8 ln(1 + 2) + .

ln(1 + )

ln 2

Константа , выходящая после взятия неопределенного интеграла очень важна. Вообще говоря, многие трудности при применении метода связаны с ее нахождением (не говоря о введении подходящего параметра). Иногда приходится придумывать другую параметризацию, потому что не удается отыскать константу (что будет продемонстрировано в следующем примере).

Вспомним теперь, что по теореме 40.5

		∫	1 + 2		= ∫0					,
								1 + 2
			ln(1 + )				ln(1 + )
( ) = − ∫0
						2	arctg +		8 ln(1 + 2) + .
		1 + 2 +
		ln(1 + )				ln 2

Заметим, что указанное равенство должно выполняться для всех , удовлетворяющих условию теоремы (*), в частности при = 0, получаем:

(0) = ,

0 = .

138

1 + 2

Таким образом, константу мы нашли. Теперь осталось найти (1), т.е. ответ на задачу

(1) = − (1) + ln22 · 4 + ln8 2, 2 (1) = ln4 2,

1

∫

ln(1 + ) = ln8 2.

0

Теперь рассмотрим чуть более хитрый пример:

+∞

∫ −

sin при > 0.

0

Этот несобственный интеграл сходится при всех > 0, а значит можно применить теорему (**). Несмотря на то, что параметр в подынтегральной функции присутствует, использовать его неудобно, т.к. не получится выразить в конце константу . Вместо этого введем еще один параметр:

	+∞	−
	( ) = ∫0		sin .

При = 1 имеем искомый интеграл. Теперь продифференцируем, а получившиеся интеграл возьмем с помощью формулы интегрирования по частям для несобственных интегралов:

+∞

+∞

′( ) = ∫0

− cos = ∫0

− (sin ) =

1

= →+∞

−

·

+∞

∫

1

lim

( − sin )

− ·0 sin

0 +

− sin

=

+

∞

0

+

= − 2

∫

−1 + ∫

∞

− (cos ) = − 2

− cos .

0

0

Тогда получаем, что

(1 +

2

) ′( ) =

,

2

2

′( ) =

.

2 + 2

Интегрируя последнее равенство

( ) = arctg + .

Вот для этого и нужен был параметр . Теперь мы можем подставить = 0 и легко найти

:

(0) = ,

0 = .

139