Доказательство. Запишем ( ) ′( ) = ( ( ) ( ))′ − ′( ) ( ), где 6 6 . Теперь проинтегрируем это равенство:

∫	( ) ′( ) = ∫	( ( ) ( ))′ − ∫	′( ) ( ) = ( ) ( )| − ∫	′( ) ( ) .

[:|||||:]

Часть 41

Несобственные интегралы

До этого момента мы рассматривали функции, интегрируемые на конечном отрезке [ , ]. Более того, необходимым условием интегрируемости являлась ограниченность функции на данном отрезке. Сейчас же мы несколько расширим понятие интеграла, рассмотрев случаи бесконечного отрезка интегрирования и неограниченных функций.

1Несобственные интегралы I рода

Пусть функция ( ) определена на [ , +∞) и интегрируема по Риману (в собственном смысле, т.е. в том смысле, как мы это понимали раньше) на отрезке [ , ] для любого . Тогда предел

→+∞
	∫	(1)
lim	( )

называется несобственным интегралом I рода от функции по лучу [ , +∞) и обозначается

+∞

∫

как ( ) .

Если предел (1) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся (обознача-

+∞

∫

ется как ( ) →), а функция ( ) называется интегрируемой в несобственном смысле по

[ , +∞). Если же предел (1) не существует или равен ∞, то данный несобственный интеграл

+∞

называется расходящимся (что записывается как						+∫∞ ( ) 9).
Теперь обобщим это определение на случай						( ) . Это можно сделать следующим
						−∞
образом:						∫
+∞	0		+∞	′→ ∞	0			′→+ ∞
∫	∫	( ) +	∫		∫		→ ∞ ∫			∫
( ) =			( ) =	lim	( ) +		lim	( ) =	lim	( ) .
−∞	−∞			+			+		+
			0	− ′			0		→ ∞− ′

Очень важно, что используется именно двойной предел, т.е. не полагается = ′. Отличия между этими двумя способами определения будут проиллюстрированы ниже.

121

2Несобственные интегралы II рода

Предположим, что функция не ограничена в точке , т.е. > 0			( )	> 0 :
( − , ) | ( )| > . Предположим также, что		определена на [ , )	и интегрируема в
собственном смысле на [ , − ] для любого > 0. Тогда предел
→0+0	−
	∫			(1)
lim	( )

называется несобственным интегралом II рода от ( ) по [ , ]. Используется уже привычное

∫

обозначение: ( ) .

Если предел (1) существует, то данный несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует или равен ∞, то расходящимся. Для указания этих фактов используются те же обозначения, что и для несобственных интегралов I рода. Рассмотрим пару примеров.

1

∫ 1 . Очевидно, что эта функция не интегрируема в собственном смысле на данном

√

0

отрезке, т.к. функция не ограничена в 0. Тогда рассмотрим несобственный интеграл II рода:

1

1

∫

1

∫

1

2√

1 .

lim

lim

√

=

→0+0

√

=

→0+0

= 2

0

1

∫ . Здесь похожий случай, но несобственный интеграл получается расходящимся:

0

1				1
∫		= →0+0 ln			= +∞
0		lim				.

Предположим теперь, что ( ) не ограничена в точке ( , ). Мы по-прежнему хотим проинтегрировать ее на отрезке [ , ]. Соответствующий несобственный интеграл можно определить тем же образом, каким мы определяли несобственный интеграл I рода для всей числовой прямой. Иными словами, разбиением на 2 части:

	′→ 0+0		−
∫			∫	∫		.
( ) =	lim		( ) +	( )
	→			+ ′
	0+0

Точка , в которой функция не ограничена, называется особой. Если у несобственного интеграла есть несколько особых точек, то исследование сходимости проводится в каждой из точек, причем интеграл считается сходящимся, если он сходится в каждой из этих точек.

3Сходимость в смысле главного значения

Рассмотрим следующий несобственный интеграл I рода:

+∞
∫	− ′→+∞		−
−∞	→ ∞		′.
sin =	lim cos
	+

122

Данный предел не существует. Теперь же попробуем взять обычный одинарный предел (о чем говорилось в определении несобственного интеграла):

+∞

= − →+∞ cos

∫

sin

−∞

lim

−

= 0,

+∞

т.к. cos — четная функция. Будем говорить, что несобственный интеграл

∫

( ) сходит-

−∞

ся в смысле главного значения, если существует конечный предел lim

+∫

( ) . Чтобы

→+∞−

∞

обозначать сходимость в смысле главного значения используется запись .

( ) .

−∞

не

Теперь рассмотрим несобственные интегралы II рода. Предположим,

что функция

∫

ограничена в точке ( , ). Тогда под несобственным интегралом . ∫

( ) понимается

→0+0

−

∫

( ) +

∫

( )

.

lim

+

Например,

1

∫

−1

1

∫

.

−1

′→ 0+0

(

|

|

−

|

|

)

=

→

ln

− ′

+ ln

1

— не существует,

lim

0+0

1

= →0+0

(ln |

|

−1 + ln |

|

)

= →0+0

−

ln ) = 0.

lim

−

1

lim (ln

Нетрудно убедиться, что если несобственный интеграл сходится, то он сходится и в смысле главного значения. Обратное же, вообще говоря, неверно.

Наконец, рассмотрим переход от несобственного интеграла II рода к несобственному интегралу I рода. Предположим, что не ограничена в точке . Тогда

∫

		=		1							= +∞
														( )
( ) =			−													.
														2
				1							1
		=					=					∫
				−				2
												−

Таким образом, с этого момента мы будем рассматривать только несобственные интегралы I рода, т.к. в случае необходимости сделать нужный переход не составит труда.

4Критерий Коши сходимости несобственных интегралов I рода

Теорема 41.1.

1

( )

1

( )

+∞ ( )

→

> 0

0 > :

1, 2 > 0

( )

2

=

< .

∫

∫

− ∫

∫

2

123