∫

cth = ln|

sh | .

∫

arcth = arcth +

1

|

2

−

|

2

th = ln

ch .

ln

1 .

∫

| |

√

∫

| | =

| 2|

.

2

+ 1.

∫

arsh = arsh −

arch = arch − √

.

∫

sgn = | |.

2 − 1

∫

arth = arth + 21

ln |1 − 2|.

∫

sgn · ( ) = sgn

∫

( ) .

∫

+ + —

2

< 0. Тогда

Пусть

2

неприводимый многочлен, т.е.

−

4

∫

+

+

2

−

=

ln | 2

+ + | +

arctg

2

.

2 + +

2

2

2

2√ −

√ −

4

4

∫

+ + ) = −

·

− 1 · ( 2 + + ) −1

+ ( −

)

,

где

( 2

2

2

+

1

1

1 arctg + 2,

= 1

=

+

2

2

2

3

2

+

2

−

2)

1

,

где

=

4

, > 1

1

2

(2

2 2( 1)

+

−

−

−

−

+ 2

−

(

2)

10 Методы интегрирования

Методы подстановки и интегрирования по частям описаны на странице 101.

10.1 Интегрирование рациональных функций

10.1.1Метод неопределенных коэффициентов

Предположим, что нужно вычислить интеграл

4

более простых:

∫

4+5 2+4 . Разобьем эту дробь на несколько

4

5 2 + 4

+

+

= 1 −

= 1 −

−

.

4 + 5 2 + 4

( 2 + 1)( 2 + 4)

2 + 1

2 + 4

Приведем все к общему знаменателю:

5 2 + 4

( + )( 2 + 4) + (( + )( 2 + 1))

3( + ) + 2( + ) + (4 + ) + (4 + )

=

=

.

( 2 + 1)( 2 + 4)

( 2 + 1)( 2

+ 4)

( 2 + 1)( 2 + 4)

А теперь просто найдем коэффициенты , , и :

+

= 5

= = 0 1

+

= 0

=

3

4 +

= 0

−

=

16

= 4

3

4 +

167