Для функции = ( , ), где								и — независимые переменные,
2	∂2			2		∂2		∂2	2.
	=				+ 2		+
		∂ 2						∂ 2
						∂ ∂

Пусть = ( 1, 2, . . . , ), где 1, 2, . . . , — два раза дифференцируемые функции некоторых независимых переменных 1, 2, . . . , . Тогда

		∂2		∂
∑	∑		∑
2 =			+		2 .
=1 =1		∂ ∂	=1	∂

Теорема 46.8 (Формула конечных приращений Лагранжа). Если функция (¯) дифференцируема на множестве G R, то ¯ : ¯ + Δ¯ G Θ (0, 1), такое что

	∂ (¯ + ΘΔ¯)
∑				.
		∂
(¯ + Δ¯) − (¯) =
=1
Пусть поверхность в R3		задана непрерывной функцией = ( , ), т.е.

= {( , , ( , )) | ( , ) } и 0 = ( 0, 0, 0) .

Предположим также, что функция ( , ), задающая поверхность непрерывно дифференцируема в области . Тогда касательная плоскость к существует в любой точке0 и имеет уравнение

− ( 0, 0) = ′ ( 0, 0) · ( − 0) + ′ ( 0, 0) · ( − 0).

Уравнение же нормали в точке 0 имеет вид:

− 0		=	− 0		=	− ( 0, 0)		.
′	( 0, 0)		′	( 0, 0)		−	1

Если поверхность задана неявно уравнением ( , , ) = 0, причем функция непре-

рывно		дифференцируема в области R3,			0	, ( 0, 0, 0)		= 0 и ( ′ ( 0))2 +
( ′	(	))2 + ( ′	( ))2	= 0, то касательная плоскость в точке				существует и имеет
	0		0	̸			0

уравнение

′ ( 0)( − 0) + ′( 0)( − 0) + ′( 0)( − 0) = 0.

6Таблица производных

						(	1			)′ =
( )′ = 0.													−1 +1						.
′ = 1.					(√ )′ =									2√				.
( )′ = −1, .					(		√ )′ =													.
				R									1
															√
	(1 )′ = −																−1
		1	.		(sin )′ = cos .
		2

163

(cos )′ = − sin

(tg )′ = cos12 .

(ctg )′ = −sin12 .

(sh )′ = ch .

(ch )′ = sh .

(th )′ = ch12 .

(cth )′ = −sh12 .

(arcsin )′ =	√	1		.
		1−	2

(arccos )′ = −√11− 2 .

(arctg )′ = 1+1 2 .

(arcctg )′ = −1+1 2 .

(arsh )′ =	1					.
	√
		2+1
(arch )′ =	√		1				.
			2
				−1
(arth )′ =	1				при			|		|	< 1.
	1−			2

(arcth )′ = 1−1 2 при | | > 1.

( )′ = .

( )′ = ln .

(ln )′ = 1 .

(log )′ = ln1 .

(| |)′ = sgn при ̸= 0.

(sgn )′ = 0.

	( ( ) ( ))′ = ( ( ) ln ( ))′ = ( ) ln ( ) · ( ′( ) ln +																		( )( ′)	) =
																			( )
																			= ( ) ( ) ( ′( ) ln +		( )		).
																					( ) ′
																					( )
7 Производные -ого порядка
( )( ) = (						−		1)(	−	2) . . . (						−	+ 1) − .
(( + ) )( ) = (										−	1) . . . (						−	+ 1)( + ) − .
		( )
( )			= .
( )( ) = ln .
(sin )( )					= sin				+					.
												2
								(
				( )									)
	(cos )				=			cos ( +							).
												2

(ln )( ) = (−1) −1( −1)! .

(log )( ) = (−1) −1( −1)! .

ln

( ( ) + ( ))( ) = ( )( ) + ( )( ).

Формула Лейбница.

	( ) ( − )( ) · ( )( ).
( ( ) · ( ))( ) = =0
∑

164

8Ряды Маклорена

= 1 + + 2 + · · · + + ¯o( ). 2! !

3

−1

2 −1

2

sin = −

3!

+ · · ·

+ (−1)

(2

−

1)!

+ ¯o(

).

2

2

cos = 1 −

+ · · · + (−1)

+ ¯o( 2 +1).

2!

(2 )!

3

2 5

17 7

62 9

+ ¯o( 9).

tg = +

+

+

+

3

15

315

2835

1

3

2 5

7

2 9

ctg =

−

−

−

−

−

+ ¯o( 9).

3

45

945

4725

93555

2

+ · · · + (−1) −1

ln(1 + ) = −

+ ¯o( ).

2

1

= 1 + + 2

+ · · · + + ¯o( ).

1 −

√

= 1 +

−

2

+

3

+

· · ·

(−1) (2 )!

+ ¯o( ).

1 +

+

2

8

(1

16

−

2 )( !)2(4 )

(1 + ) = 1 + +

( − 1)

2 +

· · ·

+

( − 1) . . . ( − + 1)

+ ¯o( ),

0 .

2!

!

N { }

3

3 5

+ · · · +

(2 )!

2 +1 + ¯o( 2 +2), при | | < 1.

arcsin = +

+

6

40

4 ( !)2(2 + 1)

arctg =

−

3

+

5

+

(−1) −1

2 −1

+ ¯o( 2 ), при

< 1.

3

5 − · · ·

2

−

1

| |

165

3

5

1

2 −1

+ ¯o( 2 ).

sh = +

+

+ · · · +

3!

5!

(2

−

1)!

ch = 1 +

2

+

4

+ · · · +

1

2 + ¯o( 2 +1).

2!

4!

(2 )!

arsh =

3

+

3 5

+

(−1) (2 )!

2 +1

+ ¯o( 2 +2), при

< 1.

−

6

40 − · · ·

4 ( !)2(2 + 1)

| |

3

5

1

2 −1

+ ¯o( 2 ),

при | | < 1.

arth = +

+

+ · · ·

+

3

5

2

−

1

9Таблица неопределенных интегралов

Константа везде опущена, но, разумеется, ее присутствие подразумевается. Здесь приведены наиболее важные неопределенные интегралы. За более полным списком читатель может обратиться к википедии.

∫			{ln | |,				= −1
					+1	,	̸= −1.
=					+1
∫		=	1
			1			+
	2+ 2		arctg .
		= 2 ln					.
∫	2− 2					−

∫

ln = ln − .

= ln | ln |.

ln

∫ log = lnln−1 .

∫ = .∫

= ln .∫

∫

1

2

2

± |.

2± 2 = ±2 ln |

∫

√

= arcsin

( > 0).

2− 2

∫

−

= arccos

(

> 0

).

√ 2− 2

∫

√

= ln | + √ 2 ± 2| ( > 0).

2± 2

∫

√

= ±√ 2 ± 2 ( > 0).

2± 2

√

2

2

2

√

2

2

∫( > 0)−.

=

2

−

+

2

arcsin

∫

√

= 2 √

± 22 ln | +

2

± 2

2 ± 2

√

2 ± 2| ( > 0).

∫

sin = − cos .

∫

cos = sin .

∫

tg = − ln | cos |.

	∫					ln			sin .
		ctg2			=		1	|			|
	∫	sin		=			2	(		−	sin cos ).
		cos	2	=			1
	∫						2	( + sin cos ).

	∫	arcsin = arcsin + √
			1 −		2.
					2
	∫	arccos = arccos − √					.
				1 −

∫ arctg = arctg − 12 ln(1 + 2).

∫ arcctg = arcctg + 12 ln(1 + 2).

∫

sh = ch .

∫

ch = sh .

166