4Предел числовой последовательности
Назовем окрестностью точки R любой интервал, содержащий эту точку, и будем
обозначать ее как U( ). U ( ) = ( − ; + ) — симметричная -окрестность. U′ ( ) = ( − ; )
0
( ; + ) = U = U { } — проколотая.
Будем говорить, что числовая последовательность { } имеет предел, равный , если |
|
lim = U ( ) (U ( )) : > U ( ). |
(1) |
→∞ |
|
lim = > 0 ( ) : > | − | < . |
(2) |
→∞ |
|
Теорема 3.3. Оба определения предела числовой последовательности эквивалентны.
Доказательство. Рассмотрим 1-ое определение. Если U ( ), то − < < + − <
− < | − | < .
Теперь рассмотрим 2-ое определение. Если | − | < , то − < < + , т.е.
U ( ). [:|||||:]
Заметим, что оба определения предела фактически говорят о том, что последовательность
{ − } — бесконечно малая. |
|
|
Если существует |
lim→∞ = < ∞, то { } — сходящаяся последовательность. Иначе, |
|
если не существует lim или |
lim = ∞, то { } — расходящаяся. Используя отрицание |
|
|
→∞ |
→∞ |
определения: { } — расходится |
R 0 > 0 : N 0 > : | − | > 0. |
|
Часть 4
Сходящиеся последовательности
1 Свойства сходящихся числовых последовательностей
1. У сходящейся числовой последовательности может существовать только один предел.
Доказательство. От противного. Пусть lim = 1 |
< 2 = lim . Тогда имеем: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
||
= |
2 − 1 |
|
для U |
( |
) |
|
|
: |
|
|
1 |
|
|
U |
( |
). |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
> |
|
|
|
1 |
|
||||
|
Для U ( 2) 2 : > 2 U ( 2). |
|
|
|
||||||||||||
= max{ 1; 2} > U ( 1) и U ( 2). |
||||||||||||||||
Получено противоречие: U ( 1) ̸∩U ( 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[:|||||:] |
||||
2. Сходящаяся числовая последовательность является ограниченной. |
|
|||||||||||||||
Доказательство. Пусть { } сходится. Тогда > 0 |
( ) : > |
| − | < |
||||||||||||||
− < < + . Из определения ограниченной последовательности > 0 : N | | 6 . Заметим, что можно взять = max{| 1|, . . . , | −1|, | + |, | − |}. Указанное ограничивает , в том числе для всех таких номеров , что < . [:|||||:]
19
3. Если lim = |
, |
lim = , то |
lim ( ± ) = ± , |
lim ( ) = , а также |
|||||||||
|
→∞ |
|
→∞ |
→∞ |
|
|
|
|
→∞ |
||||
lim→∞ |
= , если ̸= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim = , |
lim = = + , = + , где { }, { } — б.м.. |
|||||||||||
|
→∞ |
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± = ( + ) ± ( + ) = ( ± ) + ( ± ) . |
|||||||||||
|
|
= ( + )( + ) = + ( + |
|
|
|
|
) . |
||||||
|
|
+ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б.м. |
|
|
|
|
|
|||
Теперь рассмотрим последовательность { − } и докажем, что она бесконечно малая.
Но для начала докажем следующую лемму:
Лемма 4.1. Пусть lim = ̸= 0. Тогда > 0, N : > | | > > 0.
→∞
|
|
|
3 |
|
( ) : |
> |
|
| |
− |
|
| |
< |
||||||||||
Доказательство. |
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 2 < 2 < < 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Теперь вернемся к теореме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= |
+ |
|
|
|
= |
+ − − |
= |
||||||||||
|
|
− |
|
+ |
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( + ) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− < < + . Пусть
[:|||||:]
1 ( − ) · .
произведение бесконечно |
{ |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
} |
|
{ |
} |
|
||||||
Но по лемме 4.1 |
|
1 |
|
6 max |
|
|
|
|
, . . . , |
|
|
|
, |
|
|
|
1 |
|
ограничена. Но тогда имеем |
||||
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||
бесконечно малая. |
|
|
малой и ограниченной последовательностей, значит, |
— |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[:|||||:] |
|||
2Предельный переход и неравенства
Теорема 4.2. Пусть lim = , lim = . Если < , то : > < .
→∞ →∞
Доказательство. Из аксиомы полноты : < < . По определению пределов в условии
1 > 0 1 : > 1 | − | < 1 и 2 > 0 2 : > 2 | − | < 2.
Тогда > 1 |
| − | < − и > 2 |
| − | < − . Отсюда > max{ 1; 2} |
||
< − + = = − + < . |
[:|||||:] |
|||
Следствие 4.3. |
|
lim = , lim = . Тогда если: |
||
|
||||
|
|
→∞ |
→∞ |
|
: > > , то > .
: > > , то > .
: > > , то > .
: > > , то > .
20