2. Транзитивность. Если ,	, то	.
→	→	→

Доказательство.

U′1( ) : U′1( ) ∩ E ( ) = ( ) · ( ).U′2( ) : U′2( ) ∩ E ( ) = ( ) · ( ).

Тогда при U′( ) = U′1( ) ∩ U′2( ) (пересечение не пусто, т.к. обе окрестности содержат в себе хоть какую-то бесконечно малую окрестность ) выполняется ( ) = ( ) · ( ) ×

×

(

)

·

·

[:|||||:]

, т.к. lim( ( )

( )) = lim ( )

lim ( ) = 1.

→

→

→

→

3. Если

U′( ) : ( ) = 0 при

U′( )

, то

lim

( )

= 1. Однако, если

lim

( )

,

̸

∩E

→

( )

→

( )

→

то требование ( ) ̸= 0, ( ) ̸= 0 необязательно (см. первый замечательный предел).

Будем говорить, что ( ) бесконечно малая по сравнению с ( ) при → , если

U′( ) :

U′( )

∩ E

( ) = ( )

·

( ),

→

, где

lim ( ) = 0.

→

Обозначается как ( ) = o( ( )), → или (что лучше на письме) ( ) = ¯o( ( )), → . Например:

2	= o¯		( )					, → ∞	2 = o(¯ ),	→ 0
1				1
1	=	1	·	1					2 = · .
2

Справедливо также свойство, похожее на 3, а именно, если ( ) ̸= 0 в U′( ), то = ¯o( )

lim ( ) = 0.

→ ( )

Если ( ) и ( ) — бесконечно малые функции при → и = o(¯ ), то функция ( )

бесконечно малая более высокого порядка малости.

Обозначения O и o¯ называются символами Ландау. Асимптотическое сравнение может быть очень удобным, поскольку при изучении поведения сложной функции позволяет с малой относительной погрешностью перейти к другой, более простой.

3	Замечательные пределы
3.1	Первый замечательный предел
		lim	sin	= 1
		→0
Доказательство. Рассмотрим односторонние пределы lim						sin и	lim	sin и докажем, что
					→0+0		→0−0

они равны 1.

Правый односторонний предел

37

A C

x B

O

Пусть (0; 2 ). Отложим этот угол на окружности радиуса . Тогда имеем:

= 12 2 sin ,

(сектор) = 12 2 ,

= 12 2 tg .

Из чего следует, что

0 < sin < < tg ,
0 < 1 <				<			1	,
	sin					cos
cos <		sin			< 1.
Но тогда по теореме о двух милиционерах получаем, что lim									sin = 1.
								→0+0

Левый односторонний предел

= −

lim

sin

=

= −

=

lim

sin(− )

= lim

sin

= 1.

−

→0−0

→

0

+ 0

→0+0

→0+0

0

0

→

−

[:|||||:]

3.2 Второй замечательный предел

1

lim(1 + ) =

→0

Доказательство. Точно также рассмотрим отдельно правый и левый односторонние пределы.

правый

} −−−→

{

} →

Пусть

{

и при этом < 1. По теореме Архимеда

1

→∞

0 + 0 (

0, > 0)

1

1

:

6

< + 1

< 6

. { } → 0 + 0 { } → +∞ (доказывается от

+1

38

противного по теореме о двух милиционерах), тогда (возводим каждую часть неравенства в соответствующую ей степень из неравенства Архимеда, предварительно прибавив 1):

(1 +

+ 1)

6 (1 + )

+1

< (1 + )

1

1

1

(

1

(

1

+1

· (

1

−1

−−−→∞→

+ 1)

+ 1)

+ 1)

1 +

=

1 +

1 +

(

(

(

1

+1

1

·

1

−−−→∞→

)

)

)

1 +

=

1 +

1 +

.

Тогда по теореме о двух милиционерах

1

= .

lim (1 + )

→0+0

левый

{

} −−−→

0

−

0, < 0, >

−

1,

=

−

{

} −−−→

0 + 0.

→∞

→∞

=

1

1

1

(1 + )

= (1

)−

=

= 1 +

=

1 −

1

−

1

(

−

)

(

−

)

0 + 0

1

=

1 +1

1

−−−→∞→

= (1 +

)

= (1 +

)

lim (1 + ) = .

·

(1 +

)

→0−0

1

= .

→

→1

[:|||||:]

Значит, lim(1 + )

→0

3.3

Таблица эквивалентностей

Эквивалентность при → 0

Равенство при = 0

sin

2

2

sin = + ¯o( )

1 − cos

cos = 1 −

+ ¯o( 2)

2

2

tg

tg = + ¯o( )

arcsin

arcsin = + ¯o( )

arctg

arctg = + ¯o( )

− 1

= 1 + + ¯o( )

ln(1 + )

ln(1 + ) = + ¯o( )

(1 + )

− 1

(1 + )

= 1 + + ¯o( )

Докажем все эти утверждения:

1.

sin

lim sin

.

→0

= 1

2.

(1

−

cos )

2

lim

(1−cos )·2

=

lim

2·2 sin

2

= lim

4 sin

2

= 1.

2

2

2

2

→0

2

→0

2

→0 4·(2 )

3.

tg

lim tg

lim sin

1

.

=

· cos

= 1

→0

→0

4.

arcsin

lim arcsin

= [

= arcsin

] =

lim

= 1.

→0

→0

sin

5.

arctg

lim arctg = [

= arctg

] =

lim

= 1.

→0

→0

tg

39