6.

−

1

lim

−1

= [

=

− 1] =

lim

= 1, т.к.:

0

0

ln(1+ )

→

1

→

ln(1+ )

1

= ln = 1.

lim

= lim ln(1 + )

= ln lim(1 + )

→0

→0

→0

Последний переход (от предела логарифма к логарифму предела) возможен, т.к. натуральный логарифм — непрерывная функция, о чем речь пойдет позднее.

7.

(1+ )

−

1

lim

(1 + ) − 1

= lim

ln(1+ ) − 1

= lim

ln(1+ ) − 1

·

ln(1 + )

= 1.

ln(1 + )

→0

→0

ln(1 + )

·

→0

ln(1 + )

Часть 12

Непрерывность функции

1Понятие непрерывности

Пусть : E →R. Будем называть функцию непрерывной в точке E, если

V( ( )) U( ) : U( ) ∩ E ( ) V( ( )), т.е. (U( ) ∩ E) V( ( )).

Тем самым подразумевается, что определена в точке . Можно записать это же определение в более понятном виде:

> 0 ( ) > 0 : E, | − | < | ( ) − ( )| < .

Важно понимать, что из непрерывности функции не следует, что ее можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Более того, в определении ничего не говорится о том, что для непрерывности в точка должна быть предельной. Рассмотрим следующий пример:

	{3,	если = 2.
( ) =	,	если [0; 1],
Как видно, E[ ] = [0; 1] {2}. Заметим, что = 2 — изолированная точка множества E.
˜	˜	˜
Но тогда U( ) :	U( ) ∩ E = { }, (U( ) ∩ E) = ( ) V( ( )) для V( ( )). Таким образом,

функция непрерывна в точке = 2. Однако везде далее будем считать, что — предельная точка множества E.

Будем называть функцию непрерывной в точке , если

lim ( ) = ( ) lim ( ) = (lim ).

→

→

→

Это нетрудно понять, если обратить внимание на почти полную эквивалентность определений предела функции и непрерывности в . Непрерывность в точке обозначается следующим образом: ( ) C( ).

Функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в любой точке этого множества.

40