1.2

Односторонние производные

Назовем левой (правой) производной функции ( ) в точке левый (правый) предел

при

0. Обозначения:

′

( ) или ′(

→

0

−

0)

для левой и ′ ( ) или ′( + 0) для правой.

−

+

Из утверждений для односторонних пределов вытекает:

1. Если

′( ), то

′

( ),

′ ( ), причем

′( ) = ′ ( ) = ′ ( ).

−

+

−

+

2. Если

′

( ), ′

( ) и ′ ( ) = ′

( ), то

′( ) = ′

( ) = ′

( ).

−

+

−

+

−

+

3. Если

′

( ) = ′ ( ), тогда

@

′( ).

−

̸

+

Например,

пусть

( )

=

.

Тогда ′

(0) =

lim

|

| =

1, в то

время

как

′ (0) =

|

|

−

0

−

0

−

+

lim

|

|

= 1 =

1

@

′(0).

→

0+0

̸ −

→

1.3

Геометрическая интерпретация производной

+

Заметим, что

tg

=

( +Δ )− ( )

= arctg

( +Δ )− ( )

. Пусть

lim

. Иными

0

= →

словами,

— угол наклона касательной в

точке . Тогда

= arctg (

lim ( +Δ )− ( )

=

arctg ′( )

0

tg

0

= ′( ).

0

→0

)

2Дифференцируемость функции

	Назовем функцию ( ) дифференцируемой в точке , если ( +				) − ( ) =	=
	+ ¯o(Δ ), где не зависит от	, а o(Δ¯	) = (Δ )Δ , где	lim (Δ ) = 0.
				→0

Теорема 15.1 (критерий дифференцируемости). ( ) дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда ′( ), причем = ′( ).

Доказательство.

Необходимость.
Пусть ( ) дифференцируема в точке						=	+¯o(Δ )		= +	o(Δ¯ )	= +¯o(1).
Тогда lim			=		= ′( ).
	→	0

47